ジュリアセットはなぜそれほど単純なのですか? (二次家族)

二次族のジュリア集合を見ると、無限の数ではなく有限の数の繰り返しパターンしか見えないのはなぜなのか知りたい。

私の質問は、特にこれら3つの定理の相互作用についてです。

Theorem 1: Let $z_0\in\mathbb{C}$ be an repelling periodic point of the function $f_c:z\mapsto z^2+c$. Tan Lei proved in the 90s that the filled in Julia set $K_c$ is asymptotically $\lambda$-self-similar about $z_0$, where $\lambda$ denotes the multiplier of the orbit.

Theorem 2: (Iterated preimages are dense) Let $z\in J_c$, then the preimages of $z$ under the set $\cup_{n\in\mathbb{N}} ~ f^{-n}(z)$ is dense in $J_c$

Theorem 3: $J_c$ is the closure of repelling periodic points.

定理1を拡張しましょう:
厳密に言うと、集合$(\ lambda ^ n \ tau _ { - z_0} K_c)\ cap \ mathbb {D} _r $のアプローチ($ \ mathbb {C} $のコンパクトサブセットのハウスドルフメトリックで) X \ cap \ mathbb {D_r} $ここで、極限モデル$ X \ subset \ mathbb {C} $は$ \ lambda $に似ています。$ X = \ lambda X $。
実際にこれは、コンピュータにズームインすると約$ z_0 $程度の$ K_c $が生成されたとき、その画像は実際的には自己相似的になることを意味します。 $ z_0 $について再度ズームしても新しい情報は得られません。

レイはまた、$ K_c $は$ z_0 $のプリイメージに関して漸近的に$ \ lambda $に似ていることを証明しました。これは、$ z_0 $の反発するサイクルの各ポイントでズームインすると、$ z_0 $にズームインすることを除いて、基本的に同じ眼鏡を回転させることができることを意味します。 それだけではなく、$ z_0 $のプリイメージは$ J_ {c} $(定理2)に密集しています。つまり、この$ X $パターンはJuliaセット全体で見ることができます。

それでは、別の反発する周期点$ z_1 $を考えてみましょう。 Leiは、$ K_c $は$ z_1 $とそのすべてのプリイメージについて漸近的に自己相似し、事前に異なる制限セットは$ Y $になると私たちに言います。 $ z_1 $の事前画像も$ J_c $に密集しているので、$ J_c $全体にわたって極限モデル$ Y $を観察することができます。

そのため、反発する各周期軌道には 事前 、関連する制限モデルが必要です。これらの制限モデルはそれぞれ異なる可能性があります。 しかし、私がコンピュータで生成したJulia集合を見ると、漸近的に自己相似な部分は 有限 限界モデルのセット(回転まで)。

それはなぜですか?多分私の目は違いを見ることができないのですか?それとも、コンピュータは詳細のすべてを生成することはできませんか?

それとも、極限モデルが有限であるのか?

Simple Julia zoom In this image (read like a comic strip), I zoom into the neighbourhood of a point, four times, then purposely "miss the center", and zoom onto a detail for four more times. The patterns that emerge are very similar. Are they the same?
This is perhaps one of the simplest Julia set, but the experience is

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@AndreaDiBiagioあなたの投稿からの質問がまだ未解決のままであると感じますか?そうでなければ、おそらくあなたは答えを受け入れることを検討するかもしれません?
追加された 著者 isomorphismes,
@AndreaDiBiagioところで、反発する周期点での漸近的自己相似性についての結果は、Tan Leiの研究の100年前の古典的なケーニヒス定理から得られます。そして、その絵は動的平面とパラメータ平面で同じであることを)。
追加された 著者 isomorphismes,
@ LasseRempe-Gillenごめんなさい。気が散った。あなたの答えは私のためにそれをしました。
追加された 著者 Remco Ros,
@PolygnomeはFast Fractalと呼ばれる小さなiOSアプリですが、私はMacOS上のJuliaTreckでも同様のことを見てきました
追加された 著者 Remco Ros,
2つの "ローブ"が出会う "背骨"上の点は、同じ反発性の周期的な点の前画像です。 (分母が2のべき乗である有理数の類似体としてそれらを考えてください。)それらすべてのそれらの他の忌避周期的な点の予像はそれらの間にあります...
追加された 著者 Eric Boberg,
フラクタルを生成するためにどのようなソフトウェアを使用しましたか?
追加された 著者 Flimm,

5 答え

ジュリア集合はすべて自己相似集合と非常に密接に関連しています - それぞれが反復関数系のような不変集合として考えることができます。具体的には、Juliaの集合$ f(z)= z ^ 2 + c $は、反発する周期点$ f $の閉包です。したがって、Julia集合自体が$ f $の逆行列のもとでは魅力的であるべきであり、そのような逆行列が2つあることは意味があります。 $$ f _ {\ pm} ^ { - 1}(z)= \ pm \ sqrt {z-c}。$$

実際には、 $$ J = f _ {+} ^ { - 1}(J)\ cup f _ { - 1} ^ { - 1}(J)$$ それはそれがほぼ自己相似に見えるようにするためです。これは$ c = -1 $のアイデアを示す無償のグラフィックです。

enter image description here

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追加された
それはいい意味です - ある意味ではドラゴン曲線に似ています、 en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve が非線形です。 en.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve との類似点は非常に明白です...不思議に思いますこれら2つのフラクタルを補間する自然な変形があるならば....
追加された 著者 RQDQ,
反復関数系は、二次Julia集合のこの性質を一般化する目的で導入されました。 ; MR0799111 Barnsley、M.F。 Demko、S.反復関数システムとフラクタルのグローバル構築。手順ロイ。 Soc。ロンドンSer。 A 399(1985)、No。 1817、243-275。
追加された 著者 Margaret Friedland,
@MarkMcClureあなたは、同じジュリア集合の中で無限に多くの異なるスケーリング限界を得ます。 Andreaはこれを予想するのに正しいです、彼はちょうどズームインするために適切な場所を選択しませんでした(そしてさらに、乗数の係数が1に近くなければ、目で異なった螺旋パターンを検出することはほとんどありません)。
追加された 著者 isomorphismes,
@ MarkMcClure、あなたは私の質問を誤解しているようです。私は何度も何度も同じパターンを見ていることに驚かないが、これはT1とT2の結果であり、あなたの答えのおかげでも理解できる。 これらのパターンが非常に少ないことに驚きます。 $ J $の類似性は、私は任意に多くの異なる形状にズームインすることができるはずです!
追加された 著者 Remco Ros,
これははっきりしていますが、私の質問には答えません。それは、特定の点の小さい領域と小さい領域のジオメトリに関するものです。あなたの答えは、非常に明確に世界的な準自己類似的なものを扱っています。
追加された 著者 Remco Ros,
あなたは単一の Juliaセットの中にこれらのパターンすべてが見られないことに驚いていますか?セットの自己共形性はこれが起こりそうにないことを意味するように私には思われる。もちろん、$ c $を変えると、あらゆる種類のスパイラルパターンを見つけることができます。また、計算不可能な2次のJulia集合があることも理解しておく必要があります。だからどんな答えもどういうわけか不完全です
追加された 著者 Frank Groot,
@AndreaDiBiagio自己相似集合は、あなたが求めている性質とまったく同じです。つまり、ズームインすると同じ種類のパターンが何度も表示されます。そのため、答えは間違いなくあなたの質問に直接答えます。私は、読者が自己相似集合のこの性質を知っていると私は思っていたので、私はそれをもっと明確にしたかもしれないと私は認めます。
追加された 著者 Frank Groot,

私のコメントを拡張し、ジュリア集合とドラゴン曲線の自己相似性を強調するために、この2つの間の補間をします。

enter image description here

各フレームは、2つの複雑な関数によって生成されます。

f1[z_, t_] := ((1.0 + I) z/2) t + (1 - t) (Sqrt[z + 0.9 I]);
f2[z_, t_] := (1 - (1.0 - I) z/2) t + (1 - t) (-Sqrt[ z + 0.9 I]);

$ t $は、アニメーションフレームの$ 0 $から$ 1 $になります。 $ t = 0 $の場合、$ c = -0.9i $の古典的なジュリアフラクタルがあります。 そして$ t = 1 $では、我々はドラゴン曲線のための2つのジェネレータを持っています。

それで、色はどうですか? $ J $を魅力的なセットにしましょう。 $ f_1(C)$は黒のセット、$ f_2(C)$は青のセット、そして$ C = f_1(C)\ cup f_2(C)$です。 これは自己相似性を強調しています。

そのため、ドラゴンカーブの場合、$ f_1 $と$ f_2 $は分析的かつアフィン的であるため、まったく歪められません。したがって、正確コピーは小さいレベルで表示されます。 Juliaの場合、解析マップしかないので、平方根による歪みがいくらかありますが、画像は多かれ少なかれ保存されています(これは解析マップの性質です)。

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@ MarkMcClure:ええ、おそらくそれは最善の例ではありませんでした - しかし、自己相似性の側面は明らかだと思います...おそらくより良いJulia集合があると思います。パラメータを変えて実験はしませんでした。
追加された 著者 RQDQ,
ドラゴンカーブとジュリアセットの直接の関係については、Milnorの "Juliaセットを一緒に貼り付ける:交尾のうまくいく例" emis.de/journals/EM/expmath/volumes/13/13.1/Milnor.pdf
追加された 著者 isomorphismes,
これは面白いですが、私の質問には答えません。
追加された 著者 Remco Ros,
私はこの答えが好きで、それを支持し、そしてアニメーションを改善するためにそれを少し編集しました。私の評判によれば、編集はレビューキューを通して承認されない限り表示されません。あなたは私のバージョンのアニメーションを見ることができます。あなたがなぜ完全に切断されたJuliaセットと二次元の自己相似タイルを選んだのか、私は少し戸惑います。
追加された 著者 Frank Groot,

@GNiklaschが指摘するように、あなたは2つの場所にズームインしているように見えます。そのため、ジュリア集合の画像は等角写像によって局所的に関連付けられているため、実際には漸近的に同じです。

異なる反発する周期的な点でズームインすると、一般的にこれらは異なる乗数になります。例えば、あなたがあなたの例で実軸から離れた周期的な点を見るならば、あなたは複雑な乗数を期待するでしょう、そしてそれ故に小さなスケールで螺旋状の振舞いをするでしょう。

Look at this picture:quadratic Julia set

「うさぎ」の部分の中には、たくさんの渦巻きがある周期的なポイントがあります。真ん中の大きなウサギとその左のウサギを結ぶ固定点もあります。 (これが何を意味するのかを知っている人にとっては、後者は多項式の$ \ alpha $固定小数点ですが、前者はそのくりこみの$ \ alpha $固定小数点です)。写真の

ジュリアセットはこれらのそれぞれの近くで異なって見えます。

EDIT. You can get an even clearer example by considering infinitely renormalisable quadratic polynomials. Consider the following procedure to select a parameter. Start at c=0, the centre of the main cardioid. Then move to the centre of the period 2 bulb at the left of the cardioid (c=-1, the "basilica"). This creates a periodic point at which two dynamic rays land, and which hence separates the Julia set into (exactly) two components.

この成分からピリオド3の分岐点を通過して、3本の光線がそこに到達するピリオド6の周期的ポイントを作成します。 (これは上記の「踊っているウサギ」を含むコンポーネントです。)継続して、期間4の分岐、期間5などを続けます。

極限では、Juliaセットが位相的にさえも非常に異なる、無限に多くの周期点を持つ2次多項式が得られます。

(この種の構成について詳しくは、Milnorの Juliaセットのローカル接続性:解説講義を参照してくださいa>、セクション3)

二次多項式の場合、2つ以上の光線が着地することができ、したがってJulia集合を2つ以上の部分に分離することができるのは、周期点をはじくことの先入観であることに注意してください。これらはそれぞれ、マンデルブロー集合の小さなコピーに関連付けられています。それゆえ、あなたは無限の数のくりこみを持つことによってのみ上記のタイプの例を得ることができます。

EDIT 2. As my original point does not seem to have come across to some, here are some pictures. For $$ c = 0.340095913765605+0.076587412582221i,$$ in the main cardioid, we obtain the following Julia set.

Julia set of $z^2+c$ in the main cardioid

Here is the scaling limit near the $\beta$-fixedpoint, $$ z_0 = 0.618645316268697-0.322757842411465i:$$ Scaling limit near beta fixed point

Here is the scaling limit near a period 9 periodic point, $$ z_1 = 0.177144137748545 + 0.032520156063447i.$$ Scaling limit near period 9 point

拡大縮小の制限が非常に異なることがわかります。 (画像は、Richard Parrisによる「Winfeed」フラクタルプログラムを使用して作成された、2012年版。)

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私は、OPが尋ねたことについて話しています。カットポイントについてあなたが言うことは、私の答えと前のコメントの編集で私が言うことを繰り返すだけです。カットポイントとスパイラルは2つの異なるものです、あなたは他なしでどちらかを持つことができます。
追加された 著者 isomorphismes,
@AndreaDiBiagioあなたの質問を理解したように、それは周期的な点をはじく際のスケーリング限界についてです。したがって、このスケーリングの限界を確認するには、周期的な点を固定してその近くで拡大する必要があります。まるであなたが「おもしろい」点、すなわちジュリア集合を分離する点の近くで拡大したかのように見えます - しかし、あなたの場合、ジュリア集合を分離する2つの周期点だけがありますしたがって、私が説明するのと同じコンフォーマリティによる同じスケーリング制限があります。
追加された 著者 isomorphismes,
@ MarkMcClureいいえ、ジュリア集合には無限に多くの異なる周期点があります。それらは異なる乗数、したがって異なるスケーリング限界を持つことを期待します。
追加された 著者 isomorphismes,
@ MarkMcClure申し訳ありませんが、あなたは間違っています。カーディオイド内のz ^ 2以外のマップはすべて、非実数乗数を持つ周期的な点を持ち、したがって「螺旋」の振る舞いをします。 Eremenkoとvan Strienの「実数乗数を用いたRationalのマップ」を参照してください。あなたが十分に尖頭に近づくが、しかしカーディオイドの境界に接線方向に行くならば、あなたは螺旋を見ることができるでしょう。
追加された 著者 isomorphismes,
乗数の法が$ 1 $から遠すぎると、1枚の写真では渦巻きが見えなくなりますが、ズームインしても観察できます。写真、そうあなた自身を納得させることができます。
追加された 著者 isomorphismes,
PS。私はすべての期間の軌道については話しませんでした。軌道の周期はここでは関係ありません。これは乗数(スケーリング限界構造の場合)、および軌道に到達する光線の数(他の引数の場合)です。 。ピリオドに関係なく、メインカーディオイドのマップには各地点に1つのレイの着陸しかありません。
追加された 著者 isomorphismes,
「@GNiklaschが指摘しているように、あなたは2つの場所にズームインしているように見えます。どちらも同じ反発する周期的な点のプリイメージです」。確かに、これは非常にありそうです、なぜならT2が特定の点の予像は$ J $に密集していると言うからです。 しかし T3は、反発する周期的な点も$ J $に密集しており、これらのそれぞれは先験的に、異なる乗数を持つべきであると言っています。
追加された 著者 Remco Ros,
ここでは2つの異なることについて話しているのではないでしょうか。私が見たスパイラルは、ジュリアのいくつかの構成要素が出会うカットポイントについてのスパイラルであり、これらは私が言ったように分岐から生じています、そして私の目には、それは私たちが見る支配的な幾何学的形状です。そのような行動はメインカーディオイドでは起こり得ない。しかし、あなたの他の点は面白いです。ちょっと見てみます。
追加された 著者 Frank Groot,
@Lasseもちろん全周期の軌道がありますが、Julia集合が単なる円であるz ^ 2についても同じことが言えます。メインカーディオイドの任意のcに対して、Juliaのz ^ 2 + cのセットに明白な本物のスパイラルパターンがあるとは思わない。スパイラルパターンは、cが分岐点を通過した後に初めて明らかになります。あなたの例では、cがメインカーディオイドからピリオド2の電球に入り、次にピリオド3の電球に入る2つの分岐があります。そのため、そのJuliaセットには2つの特定のタイプのスパイラルが見られます。
追加された 著者 Frank Groot,
これは非常に素晴らしいことで、同じJuliaセットに複数のスパイラルパターンを含めることができることを示していますが、マークを少し見逃してしまう可能性があります。表示される特定のスパイラルパターンは、Juliaセットのズームイン位置によって異なりますが、そのJuliaセット内のすべての可能なスパイラルパターンのセットは、ポイント$ cから選択したパラメーターの位置によって決まります。マンデルブロー集合の中の$。私が理解しているように、1つのJuliaセットにはまだ有限の数のらせんパターンがあります。
追加された 著者 Frank Groot,

私は写真を作り始めたことを考えれば、私のより長く、より詳細な質問に加えて、あなたの質問に別のより短く直接的な答えを追加する価値があるかもしれないと思った。

Question 1. Are the limits in your pictures the same (up to a linear map)?

Answer. Yes. The only points in your "double basilica" picture at which two bounded Fatou components (interior regions of the filled Julia set) meet are preimages of the same periodic point. (This is the $\alpha$-fixed point of the first renormalisation.) Hence the Julia set near the two points is related by a conformal map, and the two scaling limits are the same, up to a linear transformation.

Question 2. Are there only finitely many scaling limits? Answer. No. But you must focus in on different periodic points to observe them. In other words, first fix your periodic point, then zoom in.

あなたの例では正確なパラメータを与えていませんが、ここではパラメータ$ c = -1.3 $に対するスケーリングの限界です。 フルジュリアセット:

Double basilica Julia set

3つの実周期点でのスケーリング限界それぞれ固定小数点):

最後に、ピリオド3に近いスケール限界は$ 1.131900530695346 + 0.227896812185643i $です。非実数乗数によるらせん構造を強調するために、3つの連続したズーム(それぞれ10倍細かい)を与えます。周期点は各写真の中心にあります。

あなたははっきりとスケーリング限界が異なることを見ることができます。あなたはより多くの周期的な点を選び、より多くのスケーリング限界を得ることができます。

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無限に繰り込み可能な多項式を考えると、あなたは無限に多くの全く異なる絵を見ることができます。たとえば、$ K_c \ setminus \ {x_n \} $が正確に$ n $の要素を持つような周期的な点$ x_n $を見つけることができるような$ c $が存在します。

そのような無限にくりこみ可能な$ c $は、赤ちゃんのマンデルブロー集合の無限の巣の中にあります。深さ$ n $のベイビーマンデルブロ集合の$ 1/n $ -limbで深さ$ n + 1 $のベビーマンデルブロ集合を選択すると、 $ n $番目のくりこみは回転数$ 1/n $を持つので、$ K_c \ setminus \ {x_n \} $は$ n $の要素を持ちます。

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