入力とは別の離散時間LTIシステムの出力?

この質問は、これ1つ。私は2年次のシステムのために古い試験に進み、コースを変えて、この質問に出くわしました。他の質問が実際にこの問題を正しく表していない場合に備えて、私はこの質問を投稿しています...

質問には:

システムに入力された情報が$ x_1 [n] =(1/6)^ nu [n] $であれば、LTIシステムに関する以下の情報が出力は$ y_1 [n] = [a(1/2)^ n + 10(1/3)^ n] u [n] $です。 $ x_2 [n] =( - 1)^ n $の場合、出力は$ y_2 [n] =(7/4)( - 1)^ n $ em>。このシステムの伝達関数と数$ a $の値を求めます。

この解は、$ x_1 $と$ y_1 $のz変換を決定し、伝達関数を$ H(z)= Y_1(z)/ X_1(z)$とすることによって進められます。

しかし、入力が$(1/6)^ n $ならば、このシステムは$(1/2)^ n +(1/3)^ n $の出力を生成することは不可能であると私には思われます。質問は幾分工夫されていますが、私の他の質問に関する議論を参照してください。

私はここで何が欠けていますか?

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@Jazzmaniacは、入力信号の$ u [n] $部分を意味します。あなたの入力は$(1/6)^ n $ではありません。これは単位ステップを掛けたものです。
追加された 著者 alumb,
あなたの混乱は、あなたのユニットステップを無視することに由来します。
追加された 著者 Andy,
あなたは詳細を教えていただけますか?
追加された 著者 StasM,
申し訳ありません - 私はその部分を持っています。私が意味していたのは質問にどんな影響があったかです...しかし今、疑問は、$ y_1 [n] $がシステムの過渡応答であるということです。
追加された 著者 StasM,

2 答え

注:答えは完全ではありません。しかし、問題は解決できないようです。

入力信号には以下のz変換があります。 X 1(z)= \ frac {1} {1-(1/6)\ cdot z ^ { - } $ $ x_1 [n] =(1/6)^ n \ cdot u [n] 1}} $$ $$ x_2 [n] =(-1)^ n \ quad \ longleftrightarrow \ quad X_2(z)= \ frac {1} {1 + z ^ { - 1}} $$

出力信号には、以下のz変換があります。 $$ y_1 [n] = [a(1/2)^ 2 + 10(1/3)^ n] u [n] \ quad \ longleftrightarrow \ quad Y_1(z)= a \ frac {1} {1- (1/2)\ cdot z ^ { - 1}} + 10 \ frac {1} {1-(1/3)\ cdot z ^ { - 1}} $$ (1/4)$(1/4)\ n \ quad \ longleftrightarrow \ quad $

両方の信号ペアについて、伝達関数は$ H(z)= \ frac {Y(z)} {X(z)} $に等しいことがわかります。 $ \ {X_2(z)、Y_2(z)\}から$ H(z)= 7/4 $を知ることができます。 ]、y_2 [n] \} $)。

残るのは$ Y_1(z)= H(z)\ cdot X_1(z)$を$ a $に解くことです。しかし、私は適切な結果を得ていません。

EDIT: Another way to appraoch this last step is to solve the following: $$a\frac{2}{2-z^{-1}} + b\frac{3}{3-z^{-1}} = c\frac{6}{6-z^{-1}}$$ where you may choose $b=10$ if desired.

マトリックス表現では: $$ \ mathbf {A} \ left [\ begin {array} {1} a \\ b \\ c \ end {配列} \ right] = \ mathbf {b} $$ 行列$ \ mathbf {A} $は完全ランクサイズの3×3行列であり、$ H(z)= c $と$ b = 10 $のスカラー解が存在しないことを示しています。

EDIT2: The solution seems to be that $H(-1)=7/4$ and $a=-9$. We already found that $H(z)=7/4$ for any $z$, based on the signals $\{X_2(z), Y_2(z)\}$. When evaluating $\{X_1(z),Y_1(z)\}$ for $z=-1$, the solution $a=-9$ follows easily. However, for another value of $z$, say $z=-2$ we obtain $a\approx -9.375$.

結論として、分解は$ z = -1 $に対してのみ成り立ちます。

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追加された
あなたの間違いは、$( - 1)^ n $の$ \ mathcal {Z} $変換が$ 1 /(1 + z ^ { - 1})$であると考えることです。しかし、その関数は、$( - 1)^ n u [n] $!の$ \ mathcal {Z} $変換です。 $ z $のすべての値に対して$ H(z)= 7/4 $という結論は間違っています。与えられた入出力関係は、$ z $の1つの値、すなわち$ z = -1 $に対してのみ$ H(z)$の値を決定する。
追加された 著者 Matt R,
私の理解には明らかに大きな違いがあります。私は、LTIシステムの出力は入力と同じ形式でなければならないと考えました。入力が$(1/6)^ nu(t)$の形式であれば、出力は$ [(1/2)^ n +(1/3)^ nu(t ])$(今回私は$ u(t)$を含めました)。その出力が有効であることは何ですか?
追加された 著者 StasM,
$ a $の値を決定するために、私の解決策は$(7/4)= H(-1)$を設定し、そこから進み、$ a = -9 $という値になります。しかし、再び、私は基本的な概念を理解しようとしています...
追加された 著者 StasM,
私がまだ得られないのは、$ u [n] $を乗算することによって、このシステムが$(1/2)^ n +(1/3)^ n $を含む出力を生成し、 6)^ n $。なぜ関連する質問からの議論は当てはまりませんか?
追加された 著者 StasM,
質問の内容を正確に述べるように編集しました。変化は(私の心では重要ではないが)イタリック体である...
追加された 著者 StasM,
私はまったく同じことをする...私は何かが誤ってどこかにコピーされたと思う。
追加された 著者 Ed Mallon,
$ Y_1(z)= H(z)\ cdot X_1(z)$を$ z = -1 $として評価すると、$ a = -9 $という答えがポップアップします。しかし、$ z $の任意の値については確かに真ではありません。質問は少し厄介です。私は私の答えを更新します。
追加された 著者 Dale M,
信号$ a ^ n $と$ a ^ n [n] $は異なります。形式$ x [n] $を分解して$ X(a)= \ sum_n x [n] a ^ n $という形式になるように、$ a ^ n $形式の信号を使うことができます。ただし、ステップ関数が含まれている場合は、これを行うことはできません。これを得る一つの方法は、信号$ x [n] $が負の時間インデックスに対して非ゼロであること、例えば$ n = -1 $であることである。信号$ a ^ n $を使用すると、そのような信号を表すことができます。しかし、$ a ^ nu [n] $では、任意の$ a $の信号$ a ^ { - 1} u [-1] $はゼロではありません。
追加された 著者 Dale M,

$ x_1 [n] $と$ y_1 [n] $の$ \ mathcal {Z} $変換を計算すると(既にBrianの答えに示されているように)

$$ X_1(z)= \ frac {1} {1- \ frac16z ^ { - 1}} \\ y 1(z)= \ frac {a} {1- \ frac12z ^ { - 1}} + \ frac {10} {1- \ frac13z ^ { - 1}} =(a + 10)\ frac {1- \ frac {a + 15} {3(a + 10)} z ^ { - 1}} {(1-frac12z ^ { - 1})(1- \ frac13z ^ { - 1})} $$

システムの伝達関数は、

$$ H(z)= \ frac {Y_1(z)} {X_1(z)} =(a + 10)\ frac {\ left(1- \ frac {a + 15} {3(a + 10)} \ tag {1}} \ {1} \ {1} \ {1} \} $$

入力信号$ b ^ n $の場合、離散信号の出力信号は、入力信号$ b ^ n $のため、$ x_2 [n] $と$ y_2 [n] $の関係から$ H(-1)= 7 /伝達関数$ H(z)$が$ H(b)\ cdot $($ <離散時間 - lti-system-with-same-as-input/25096#25096 ">この回答を参照してください)。それを$(1)$に差し込むと、$ a = -9 $が得られます。 $ a $のこの値で、伝達関数は次のようになります。

(1-frac12z ^ { - 1})(1- \ frac13z ^ { - 1}}} {-1})} \ tag {2} $$

出力信号$ y_1 [n] $は、システムの極、すなわち過渡応答のみを反映することに留意されたい。なぜなら、定常状態応答は、システムがゼロのために0であるからである。入力信号$ x_3 [n] =(\ frac16)^ n $(ステップ関数なし)に対するシステムの反応は$ y_3 [n] = H(\ frac16)\ cdot(\ frac16)^ n = 0 $。入力信号は$ n = 0 $(ステップ関数のため)でオンになるので、(システムが安定しているため)過渡応答は減衰しますが、入力信号からの他の寄与はありません。

$ x_2 [n] $と$ y_2 [n] $との関係から、伝達関数を決めることができないことを理解することは重要です(これはブライアンの答えのミスです。その関係は、$ z $の1つの値、すなわち$ z = -1 $に対する伝達関数を決定するだけである。シーケンス$ x_2 [n] =( - 1)^ n $には$ \ mathcal {Z} $ - 変換はありません。関数$ 1 /(1 + z ^ { - 1})$は$( - 1)^ n \ cdot u [n] $!の$ \ mathcal {Z} $変換です。


EDIT: (answering the questions in the comments)

  1. LTIシステムの出力は、他の関数ではなく、固有関数 $ a ^ n $(ステップ関数なし)の入力と同じ形式です。前述のように、対応する出力は$ H(a)\ cdot a ^ n $です。$ H(z)$はシステムの伝達関数です。

  2. 正弦波の入力信号は単一の周波数でシステムを励起するだけなので、出力信号からはその単一の周波数でのシステムの応答しか決定できません。信号$( - 1)^ n $は、(離散時間)正弦波信号である。したがって、対応する出力からは、値$ H(-1)$のみが決定され、それ以外は何も決定されません。

  3. 特定の時間にオンに切り替えられた信号の場合(つまり、ステップ関数を掛けた場合)のように、入力信号にすべての周波数が含まれている場合、出力信号からシステムの伝達関数を決定できますおよび与えられた入力信号。これは入力$ x_1 [n] $の場合で、$ X(z)$と$ Y(z)$から$ H(z)$を簡単に決めることができます。ステップ関数にはすべての周波数が含まれているため、乗算されたすべての信号にはすべての周波数も含まれます。このような信号でシステムを励起すると、すべての周波数でシステムの応答を判断できます。一般に、システムの応答は、入力信号に存在する周波数でのみ決定できます。入力信号に単一周波数(正弦波)が含まれている場合、その単一周波数に関する情報のみが得られます。完全な伝達関数を決定するには、インパルスやステップ(またはステップで乗算された信号)など、すべての周波数を含む入力信号が必要です。

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追加された
@ウェスターリー:私の編集された答えのあなたのコメントへの私の応答を見つけてください。
追加された 著者 Matt R,
非常に明快な答え - ありがとう!
追加された 著者 StasM,
このメモでは、ステップ関数の入力の有無が大きな違いをもたらすのはなぜですか?
追加された 著者 StasM,
$ x_2 [n] $と$ y_2 [n] $との関係から、伝達関数を決定できない理由を詳しく教えてください。 $ x_1 [n] - > y_1 [n] $と$ x_2 [n] - > y_2 [n] $の定性的な違いは、ステップ関数のようです...
追加された 著者 StasM,
私は一般にあなたが書いたことに従います。あなた(そして@ブライアン)が伝達関数にどのように到着したかは理にかなっています。しかし、私はまだ入力と同じ形式のアウトプットに関する他の質問で議論された考え方とここでの説明を「調整する」方法を見ていない。私は '概念'があまりに単純すぎると思う...
追加された 著者 StasM,