離散時間LTIシステムの出力は、入力と同じ形式であることが保証されていますか?

連続時間の文脈で、線形時間不変システムに複素指数入力を供給すると、出力は入力と同じ形式になります。たとえば、入力が$ x(t)= Aeならば$(t)= | H(j \ omega_o)| \ centerdot \ centerdot e ^ {j(H)(s)\ omega_0 t + \ phi}は、周波数で評価されたシステムの伝達関数である(ここで、は、 $ j \ omega_0 $。私のポイントは、システムが入力周波数を変更しないということです。

離散時間の文脈でも同じことが成り立ちますか?入力$ x [n] = a ^ n $をLTIシステムに供給すると、出力に$ a ^ n $も含まれますか?または、$ a ^ n $を供給して出力$ b ^ n + c ^ n $を得ることが可能です。$ a \ ne b \ ne c $($ x [n] =(1/6)^ n $、$ y [n] = B(1/2)^ n + C(1/3)^ n $)?

Edit: I've posted a related question that contains the issue that actually prompted this question...

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3 答え

他の2つの答えにもかかわらず、あなたの最後の段落がまだ満足に答えられていないと感じているので、もう1つ追加します。

インパルス応答$ h [n] $を有する離散時間LTIシステムは、伝達関数

$ {H(z)} = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} h [n] z ^ { - n} \ tag {1} $$

与えられた入力シーケンス$ x [n] $に対するその出力$ y [n] $は、畳み込み合計によって与えられる

$ {y} [\ n {k}} \ {\ infty} h [k] x [n-k] \ tag {2} $$

$ x [n] = a ^ n $については、$(2)$

【数1】【数2】【数3】【数3】【数4】【数5】【数6】 } h [k] a ^ { - k} = a ^ nH(a)\ tag {3} $$

ここで、最後の平等において$(1)$が使われました。式$(3)$は$ x [n] = a ^ n $に対して、離散時間LTIシステムの出力は入力信号の重み付きバージョンに過ぎないことを示しています。したがって、シーケンス$ a ^ n $は、離散時間LTIシステムの固有関数である。

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追加された
私は、おそらく最初に尋ねたはずの関連する質問を掲載しました。あなたもそのことに感謝しています...
追加された 著者 StasM,

ポイントは、複雑な指数関数は、LTIシステムの固有関数であるということです。リンクしたがって、周波数は変化しない、すなわち、LTIシステムは、(複素数値の)利得$ H(j \ω0)$に変換される。

離散システムの場合、固有関数は標本化された指数関数であるリンク、 $ \ omega_0 = 2 \ pi f/f_s $は正規化された周波数である。ここで、$ x [n] = A \ cdot e ^ {j \ omega_n n}離散LTIシステムの出力は、【数1】であり、【数1】は、【数2】である。

EDIT: A discrete input signal x[n] can be written as a weighted sum of complex exponentials, i.e., $X(e^{j\omega}) = \sum_{n}x[n]e^{j\omega}$ link. This transformation is in fact a change of basis. Driving such a signal thru an LTI system will weight each exponential function with the complex-valued gain $H(e^{j\omega})$. Thus, no additional frequencies will be introduced.

Note (a bit out of scope, but good to realize): When dealing with sampling a contuous-time signal and dealing with finite length signals, then you may observe additional frequencies due to aliasing and windowing.

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追加された
入力信号を、いくつかの直交関数の組(例えば、複素指数関数からなる直交基底)に投影して分解することができれば、システムの出力にはそれらの基底関数のそれぞれのスケーリングされたバージョンが含まれます。これはあなたが指摘しているプロパティであり、連続時間システムと離散時間システムの両方で有効です。線形演算子としてのLTIシステムのこのモデルは、そのスペクトル分解を介して行列による乗算をどのように解釈するかと似ています。
追加された 著者 albert,
それで、離散時間LTIシステムが入力とは異なる形式の出力を生成することは可能ですか(私の質問の最後の段落のとおり)?
追加された 著者 StasM,
ああ!したがって、上記のMatt L.の答えによると、$ a ^ n $は離散時間LTIシステムの固有関数そのものなので、作成する$ b ^ n + c ^ n $の出力の必要はありません。入力は$ a ^ n $です。
追加された 著者 StasM,
私はおそらく最初に質問しておいたはずの関連する質問を投稿しました。あなたの意見に感謝します...
追加された 著者 StasM,
確かに。また、 z-transform の次のリンクもご覧ください。シーケンスのコンバージェンスの領域について説明します。
追加された 著者 Dale M,

LinearとTime-Invariantのためだけに、LTI離散時間システムは、入力$ x [n] $からコンボリューションを使って出力$ y [n] $を出力していることが分かります。

$ [n] = \ sum \ limits_ {i = - \ infty} ^ {+ \ infty} x [i] \、h [n-i] $$

$ h [n] $はクロネッカーデルタの入力によるインパルス応答です

$$ \delta[n] = \begin{cases} 1, & \text{if }n = 0 \\ 0, & \text{if }n \ne 0 \end{cases} $$

したがって、$ x [n] = \ delta [n] $ならば、$ y [n] = h [n] $です。

今、$ x [n] = e ^ {j \ omega n} $なら、それは非常に難しいことではありません(継続時間システムの場合は離散的な集計では特にです)それはif

$$ x [n] = e ^ {j \ omega n} $$

次に

$(n)= H(e ^ {j \ω})e ^ {j \ωn} = H(e ^ {j \ω})x [n] $$

どこで

h(z)= \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} h [n] \、z ^ { - n} $$

because i'm lazy (and need to get going), i'm happy for anyone to edit this answer to include and explicit derivation. but it's easy. 次に substitute $a = e^{j \omega}$.

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追加された
私が知っていることは分かっていますが、離散時間型のLTIシステムが最後の段落で示されているように、入力とは異なる形式の出力を生成できる(またはできない)ことを意味するものであれば、私には分かりません。私の質問...
追加された 著者 StasM,
他のポスターが何を返答したかを理解したところで、あなたは何を得ているのか分かりました - ありがとう!
追加された 著者 StasM,
私はおそらく最初に質問しておいたはずの関連する質問を投稿しました。あなたの意見に感謝します...
追加された 著者 StasM,