離散時間LTIシステムの出力は、入力と同じ形式であることが保証されていますか？

ポイントは、複雑な指数関数は、LTIシステムの固有関数であるということです。リンクしたがって、周波数は変化しない、すなわち、LTIシステムは、（複素数値の）利得$ H（j \ω0）$に変換される。

離散システムの場合、固有関数は標本化された指数関数であるリンク、 $ \ omega_0 = 2 \ pi f/f_s $は正規化された周波数である。ここで、$ x [n] = A \ cdot e ^ {j \ omega_n n}離散LTIシステムの出力は、【数1】であり、【数1】は、【数2】である。

EDIT: A discrete input signal x[n] can be written as a weighted sum of complex exponentials, i.e., $X(e^{j\omega}) = \sum_{n}x[n]e^{j\omega}$ link. This transformation is in fact a change of basis. Driving such a signal thru an LTI system will weight each exponential function with the complex-valued gain $H(e^{j\omega})$. Thus, no additional frequencies will be introduced.

Note (a bit out of scope, but good to realize): When dealing with sampling a contuous-time signal and dealing with finite length signals, then you may observe additional frequencies due to aliasing and windowing.

LinearとTime-Invariantのためだけに、LTI離散時間システムは、入力$ x [n] $からコンボリューションを使って出力$ y [n] $を出力していることが分かります。

$ [n] = \ sum \ limits_ {i = - \ infty} ^ {+ \ infty} x [i] \、h [n-i] $$

$ h [n] $はクロネッカーデルタの入力によるインパルス応答です

$$ \delta[n] = \begin{cases} 1, & \text{if }n = 0 \\ 0, & \text{if }n \ne 0 \end{cases} $$

したがって、$ x [n] = \ delta [n] $ならば、$ y [n] = h [n] $です。

今、$ x [n] = e ^ {j \ omega n} $なら、それは非常に難しいことではありません（継続時間システムの場合は離散的な集計では特にです）それはif

$$ x [n] = e ^ {j \ omega n} $$

次に

$（n）= H（e ^ {j \ω}）e ^ {j \ωn} = H（e ^ {j \ω}）x [n] $$

どこで

h（z）= \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} h [n] \、z ^ { - n} $$

because i'm lazy (and need to get going), i'm happy for anyone to edit this answer to include and explicit derivation. but it's easy. 次に substitute $a = e^{j \omega}$.