アナログスペクトル密度に関する1ビット非線形検出器のスペクトル密度

時間依存のノイズ信号$ \ theta(t)$があるとします。 1ビットの分解能を有するデバイスで$ \ theta(t)$をサンプリングし、そのデバイスの読み出し値$ u $が確率分布に従うという意味でそれ自身が確率論的である

$$ P(u)= \ sin(\ theta(t)/ 2)^ 2 \ delta(u-1)+ \ cos(\ theta(t)/ 2)^ 2 \ delta(u + 1)\、。$$

言い換えれば、確率$ \ cos(\ theta(t)/ 2)^ 2 $と$ $ = $を確率$ \ sin(\ theta(t)/ 2)^ 2 $と$ u = 2 $。

離散時間$ n \ delta t $でサンプリングします。$ \ delta t $はサンプリング間隔です。 これは、分布を持つランダム変数の離散シーケンスを生成する

$$ P_n(u)= \ sin(\ theta_n/2)^ 2 \ delta(u-1)+ \ cos(\ theta_n/2)^ 2 \ delta(u + 1)\、。$$

ここで、$ \ theta_n \ equiv \ theta(n \ delta t)$です。 我々は、測定装置から一連の離散サンプル$ u_n $を記録し、これから、系列$ u_n $の離散フーリエ変換を計算することができる。

$ u_n $のスペクトル密度は$ \ theta(t)$のスペクトル密度にどのように関連していますか?

この問題は、測定装置の応答が線形ではないため、通常の伝達関数法が働かないため困難です。 それが助けがあれば、

$$ \ theta(t)= \ frac {\ pi} {2} + \ delta \ theta(t)$$

ここで、$ \ delta \ theta $は小さいと理解される。 この前提で、 $ \ \ sin(\ theta/2)^ 2 \ approx \ frac {1} {2}(1 + \ delta \ theta)\ quad \ text {and}約\ frac {1} {2}(1 - \ delta \ theta)\、。$$


私の試み

私はこれを離散フーリエ変換の式を書くことで解決しようとしました

$$ U_k \ equiv \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} u_n e ^ { - i 2 \ pi k n/N} \、$$

実際の部分をとり、確率分布の基本的な関係を使って、$ U_k $の実部の確率分布を以下のように書くことができます。 $$ P _ {\ text {Re} U_k}(x) = {N-1} \ {N-1} \ frac {1} {\ cos {2 \ pi kn/N}} P_n \ left(\ frac {x} {\ cos(2 \ pi kn/N) )} \ right)\、。$$ 次に、ランダム変数の合計の確率分布が被加数の分布の畳み込みと等しく、畳み込みが周波数領域で積になるという事実をさらに利用することができます。 これを行うと

\begin{align} \mathcal{FT}[P_{\text{Re}U_k}](k) &= \prod_{n=0}^{N-1} \frac{1}{\cos(2 \pi k n/N)} \\ &\left( \sin(\theta_n/2)^2 e^{-i k \cos(2\pi k n/N)} + \cos(\theta_n/2)^2 e^{i k \cos(2\pi k n/N)} \right) \, . \end{align} The notation is considerably simpler if we define $c_{n,k} \equiv \cos(2\pi k n/N)$, giving $$ \mathcal{FT}[P_{\text{Re}U_k}](k) = \prod_{n=0}^{N-1} \frac{1}{c_{n,k}} \left( \sin(\theta_n/2)^2 e^{-i k c_{n,k}} + \cos(\theta_n/2)^2 e^{i k c_{n,k}} \right) \, . $$ If we use the linearization mentioned above this simplifies to \begin{align} \mathcal{FT}[P_{\text{Re}U_k}](k) &= \prod_{n=0}^{N-1} \frac{1}{2 c_{n,k}} \left( (1 + \delta \theta_n) e^{-i k c_{n,k}} + (1 - \delta \theta_n) e^{i k c_{n,k}} \right) \\ &= \prod_{n=0}^{N-1} \frac{1}{c_{n,k}} \left( \cos(k c_{n,k}) - i \delta \theta_n \sin(k c_{n,k}) \right) \, . \end{align} This is where I'm stuck. I realize there may be a considerably easier way to solve this. I presented this strictly mathematical approach as a point of reference and to demonstrate a possible way of thinking about the problem.

1
自分で数学を計算しなくても、ここでは考えています。ランダムプロセス$ \ theta_n $の自己相関関数を最初に計算しようとするかもしれません。次に、ウィーン・ヒンチン定理によって、パワースペクトル密度は次のようになります。自己相関関数のフーリエ変換だけである。これは、計算が容易である場合とそうでない場合があります。これは、プロセスがワイドセンスの固定であると仮定していることに注意してください。私はあなたの質問にこれが真実ではないことを示す何も見ませんでしたが、あなたはそれについて考える必要があります。
追加された 著者 albert,
確かに、あなたはまだ上記の原則を適用することができるはずです。ランダムプロセス$ u_n $の自己相関関数を求める。これは、基礎となるランダムプロセス$ \ theta(t)$の統計値の関数になります。
追加された 著者 albert,
@ JasonR提案していただきありがとうございます。私はそれがおそらく良いアプローチだと思うし、私はそれを前に使ったので、あなたが意味することを正確に知っています。
追加された 著者 DanielSank,
@ JasonR初めてコメントを読みました。 $ \ theta $のスペクトル密度は既知であると推定される。難しい部分はそれを$ u $のスペクトル密度に結びつけています。
追加された 著者 DanielSank,
@ JasonRはい、全く同感です。線形化された場合、これは本当に簡単だと私は確信しています。完全に非線形の場合、おそらく私が望むことができる最高のものはシリーズ展開です。他に誰も答えを掲示しないなら、私は自己回答をします。
追加された 著者 DanielSank,

答えはありません

0