スケーリングプロパティは重畳を意味しますか?

システムが線形であるためには、スケーリングと重ね合わせの原理に従います。スケーリングは重畳を意味しますか?そうであれば、なぜ線形性に対して2つの異なる条件が与えられるのですか?

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@MattL。私は、「関連する質問」は、重ね合わせ(すなわち、加算性)がスケーリング(すなわち均質性)を暗示しているかどうかを尋ねたと思うが、これはスケーリングが重畳を意味するかどうかを尋ねている。実数値の入力と出力を持つシステムでは、他の質問に対する答えはYesでした(変換の連続性と複雑な入力と出力を持つシステムの場合はNoです)。skt9の質問に対する答えは、Laurent Duvalによって指摘されたNoです。
追加された 著者 Joshua McKinnon,
この関連する質問とその答えをご覧ください。私はこれがあなたの質問に答えるべきだと思います。そうでない場合は、あなたの質問を編集して、不明確な点に対処してください。
追加された 著者 Matt R,

3 答え

答えは一般的には「いいえ」です。詳細を見てみましょう。

直線性の概念はシステムを超えています。ベクトルまたは線形空間から始めましょう。ベクトルとスカラーの2つのオブジェクトを扱います。ベクトル空間では、ベクトルを加算し、スカラーでベクトルを乗算することができます。より正式には、フィールド$ F $上のベクトル空間は、ベクトル加算およびスカラー倍算の2つの演算と共にセット$ V $である。 $ V $におけるそれらの演算は、多くの公理を満たす。フィールド$ F $は、異なる公理、すなわちフィールド公理、スカラーの加算または積を支配する2つの演算も有する。これら2つの操作は、しばしば加算と乗算に同化されます。しかし、一般に、$ F $における加算/乗算は、$ V $におけるベクトル加算/ベクトルスケーリングと同じではない。実際、F $、$ V \、V $、V $の$ f.v \であるが、もはや$ F $の要素ではない。スカラーはベクトルにキャストされています。これは、線形性を定義する際の標準的な混乱の中で役割を果たす。

今度は、2つの標準操作を用いて、有理数$ F = \ mathbb {Q} $のフィールドを取る。標準的な実際の追加と実際の製品を使って、$ F $を超える実数のベクトル空間を$ V = \ mathbb {R} $とする。スカラー($ 1 $)とベクトル$(\ sqrt {2})を混在させるので、乗算は同じように見えますが、これを導入に関連付けるには、例えば$ 1 \ sqrt {2} })$。

次の出力を提供する$ S $システムがあるとします。$ V_1 \ in V $が有理ならば、$ S(v_1)= v_1 $; V $の$ v_2が非合理であれば、$ S(v_2)= -v_2 $です。合理的な$ q $については、$ q.v_1 $は合理的であり、$ q.v_2 $は非合理的です。結果として、$ S(q.v_1)= q.v_1 = q.S(v_1)$、および$ S(q.v_2)= -q.v_2 = q.S(v_2)$。したがって、$ s(q)= q.S(v)$はV $内の任意の$ v \のため、$ S $はスケーリングプロパティを検証します。

ただし、$ v_1 + v_2 $は不合理です。したがって、一般に$ S(v_1)+ S(v_2)= v_1 - v_2 $と異なる$ S(v_1 + v_2)= -v_1 -v_2 $は$ v_1 = 1 $と$ v_2 = \ sqrtを取る例えば、{2} $。

だからスケーリングは一般的に(あなたの意味で)重畳を意味するものではありません。

But there exists somehow converse statements. In other domains, one sometimes calls the scaling "homogeneity", and with additivity we get the superposition principle for a system $S$: $S(q_1.v_1+q_2.v_2) = S(q_1.v_1)+S(q_2.v_2)$. Keeping with standard fields, it can be shown that additivity implies homogeneity with rational scalars, by playing on $S(v+v) = S(v)+S(v) = 2.S(v)$ etc. To go beyond rational scalar often requires additional assumptions like continuity, which could be troublesome depending on the sets you choose, see for instance Why doesn't superposition imply linearity? Why is homogeneity needed?

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追加された

ゼロ問題と実用的な関連性によって除算を行わない例を試してみましょう。 $ E \ {x [n] \} = \ sqrt {\ sum_ {k = n} ^ {n + N} x [n] ^ 2} $のようなRMSエンベロープ推定器は、負でない数字は線形ではありません。

明らかに、すべての実数が均質なシステムが必要であり、そのような四角形(-root)を立方体(-root)で置き換えることで簡単に行うことができます \ $ {$ n} \} $ \ $ {$ n} $ \ $ {$ n}

これは統計の歪度に関連する推定値なので、実際の関連性もあります。

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追加された

いいえ。 重ね合わせを満たさずにスケーリングを満たす反例であることを証明する必要があります。

$ x(t)$と出力$ y(t)$を入力し、スケーリングを満たすシステム:

(t - \ tau_1)} {x(t- \ tau_2)} $$

ここで、$ \ tau_1 \ ne \ tau_2 $はどちらもゼロです。

これでスケーリングが機能し、重ね合わせることができないことを示すのはかなり簡単です。

but, if you're willing to neglect scaling by irrational numbers, you can show that superposition implies scaling. all you really need, to get to "linearity" is superposition.

scaling is really not a necessary axiom unless you're gonna be very anal about irrational numbers and cannot make any assumptions about continuity of the alleged LTI system.

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$ 0 $の値をとらない入力信号の場合、システムはのみのスケーリングを満たしていますか?そうでなければ、もし$ t $が$ x(t- \ tau_2)= 0 $のようなものならどうでしょうか?この場合の出力$ y(t)$は何ですか?
追加された 著者 Joshua McKinnon,
それから、私はあなたの答えのポイントを理解していません。スケーリング法を満たしていない(たとえそれを主張しているにもかかわらず)スケーリング法を満たすシステムを提案し、スケーリングが成立していて重畳していないシステムの例としてこれを使用します。ダー!次に、この結果の完全性についての解剖学的参考文献を用いて、スケーリングを証明するために重畳を使用することができると主張する(これは全く異なる質問であり、既にdsp.SEで尋ねられ答えられている)。だからここで尋ねられた質問に関連するあなたの答えはどのようにですか?
追加された 著者 Joshua McKinnon,
ああ、私はそれを考えなかった。もちろん、Dilipは、スケーリングが線形性を暗示するのに十分でないことを示すために、DSPerの心にのみ存在する仮説です。私は$ x(t- \ tau_2)\ rightarrow 0 $、$ y(t)\ rightarrow \ pm \ infty $のようにします。
追加された 著者 Tyler Durden,
私はそれがスケーリング特性を満足しないことを決して認めなかった。 $ x(t)$を$ A $に掛けると、同じ$ y(t)$を得ることができます($ A($))。答えは、重畳を満たしていないスケーリングを満たす「システム」としての反例となります(まったく仮定していますが)。 ergo "スケーリングプロパティは重畳を暗示しません
追加された 著者 Tyler Durden,
ディリップ、あなたはダウンボートを歓迎しています。今度は、コメントとして偽装する答えではありません。
追加された 著者 Tyler Durden,
あなたの「いいえ」に手紙がないと思います。さもなければ私は意味に関して混乱している。私は複雑なマッピングを考慮していなかった(時間領域で)。私は一般に、(解析信号や直交信号のような)複素数演算を使って時間領域での処理を抽象化することを検討しています。最終的にすべての処理は実数で行われます。
追加された 著者 Tyler Durden,
確かに... "たとえ...あなたの議論に続いて..." 私は2つ(または3つ)のことだけを言いました。 1. $ y(t)= \ frac {x(t)\ cdot x(t- \ tau_1)} {x(t- \ tau_2)} $はスケーリングを満たすが、重畳を満たさない)。 2.重ね合わせは少なくとも合理的なスケーラーのためにスケーリングを満たす。 3.私は$ x(t- \ tau2)= 0 $や複雑なスケーラーについて心配していませんでした(と私はそれについて骨を作っていませんでした)。
追加された 著者 Tyler Durden,
ロバートは、不合理な数字だけが線形性を意味する重複性の問題ではない。複素数はそれを分解するのに完全に十分であり、一般に信号処理に使用されます。マップ$ z \ mapsto z ^ * $を考えてみましょう
追加された 著者 Andy,
それはまったく意味がありません。実数での計算を行っても、複素数の数学は依然として適用されます。あなたの議論の後では、実数を使うこともできません。なぜなら、ビットを押すことによってそれらを「処理」するからです。数学的構造は、数学的オブジェクトの特性によって定義される。そして、エンジニアがそれらについて考える方法によって変わることはありません。
追加された 著者 Andy,