システムの応答:$ x [n] = \ sin(\ frac {\ pi n} {4})$のLTIシステム

Consider the LTI system with frequency response $$H(e^{j\omega}) = \frac{1-e^{-j2\omega}}{1+\frac{1}{2}e^{-j4 \omega}}, -\pi < \omega < \pi$$ Determine the output $y[n]$ for all $n$ if the input $x[n]$ for all $n$ is $$x[n] = \sin \left(\frac{\pi n}{4}\right)$$

My attempt: $x[n]$ is an eigenfunction of the LTI system, so the output have the form $$y[n]=|H(e^{j \omega})|\sin\left(\frac{\pi n}{4} + arg(H(e^{j \omega})\right)$$ But I dont know how to determine the phase and modulus of the frequency response with this form. For example, I think that $$| 1 - e^{-j 2 \omega} | = \sqrt{(1-\cos(2 \omega))^2 + \sin^2(2 \omega)}$$ Analogous, doing for the denominator, I could not simplificate the result.

答え:

$$ y [n] = 2 \ sqrt {2} \ sin \ left(\ frac {\ pi(n + 1)} {4} \ right)$$

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1 答え

あなたは間違いなく正しい道を歩いています。あなたが問題を解決しようとしている方法は、最も簡単で簡単です。 1つの周波数だけの周波数応答の大きさと位相、すなわち正弦波入力信号の周波数を評価する必要があることを理解する必要があります。

$$ y [n] = \ left | H(e ^ {j \ omega_0})\ right | \ sin \ left(n \ omega_0 + \ phi(\ omega_0)\ right)$$

$ \ omega_0 = \ pi/4 $と$ H(e ^ {j \ omega})= \ left | H(e ^ {j \ω})\ right | e ^ {j \ phi(\ omega}) $。

与えられた周波数応答を$ \ omega_0 = \ pi/4 $で評価すると、

\ frac {1 + j} {1- \ frac12} = 2(1) + j)= 2 \ sqrt {2} e ^ {j \ pi/4} $$

そこから正しい結果が得られます。

最後に、正弦波入力信号をLTIシステムの固有関数と誤って呼びました。これは真実ではありません。複素指数$ e ^ {jn \ omega_0} $は固有値です。複素数定数でスケーリングされた出力以外は出力に現れないためです(固有値。与えられた周波数で評価される複素周波数応答)。これは正弦波の場合には当てはまりません。正弦波は単にLTIシステムによってスケーリングされたものではありません。

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