DFT:基底関数とサンプル長さで周波数を分ける意義

時間領域信号は、基底関数に基づく正弦波に分解することができる。

N個のサンプリングされた入力に対して、コサイン基底関数は次のように定義される。

$$ C_k [i] = \ cos \ left [\ dfrac {2 \ pi k i} {N} \ right] $$

範囲の頻度$ k = 0 \ ldots \ frac {N} {2} $、$ i = 0 \ ldotsの範囲N-1 $

正弦波の角度を$ N $で割ったのはなぜですか?

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1 答え

これは、最初の余弦の周期がNサンプルになるように周波数を正規化する。その後、すべての後続コサインは、N/2サンプル、N/3サンプル... N /(N/2)= 2サンプルまで、N = 2/2のNyqustの限界である。負の周波数を含む完全なDFTが必要な場合、kの範囲は0からN-1です。

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追加された
こんにちはRaj。したがって、サンプリング期間はサンプリングされた信号に暗黙的に含まれます。単純に、余弦の1つに1サンプルの周期がある場合、その周波数はfsに等しくなります。これは$ k = N $のときに起こります。あなたの例では、正弦波の周期が2サンプルであるため、bin $ k = N/2 $は常になります。これは、ベースバンド信号であるナイキスト周波数の定義です。周波数の正規化は、サンプリング周波数への依存を除去する。希望が役立ちます。直感的にも数学的にも物事を理解する必要がある人として、私の頭の中でこれを
追加された 著者 Mike Pone,
私はあなたの答えが技術的に正しいと確信しており、それを受け入れましたが、私のような素人のためには、説明を捨てる必要があります。現時点では、私の教科書は、方程式中のkがNサンプルにわたってKサイクルであることを示しています。この信号が周波数fsでサンプリングされたと仮定すると、これは時間が経つにつれてKサイクルになる。ですから私の根本的な問題は、なぜこれらの式がサンプリング周波数の面を失っているのかです。私は分母にTSを含めることを期待しています。その欠如は単に直感的ではないようです。どうか明らかにしてください。
追加された 著者 zahbaz,
ありがとうKipperToffee。今はっきりしています。私が理解したことは次のとおりです。帯域幅が既知の信号にどの周波数が存在するかを知るためには、周波数の正弦波をDCからベースバンド内に存在する最高周波数まで相互相関させることが通常十分である。サンプリング周波数が分かっている場合、最も高いベースバンド周波数はサンプリング周波数[ナイキスト]の半分です。数字の単なるシーケンスが提供される場合、サンプリング周波数に関する情報はない。したがって、相互相関のための正弦波の実際の周波数を推測することはできません。正規化はここで役立ちます。
追加された 著者 zahbaz,