どのようにして数学的結論を適切に特徴づけるべきですか?

私は数学の大学院生であり、哲学の学生ではないので、私に同行してください。しかし、私は週の過半数を費やしていることを正確に調査することに興味があります!

実践されているように、数学的証明は正式なシステムの中で明示的な正式な控除ではないようです。代わりに、証拠は必然的に真実であると思われるものについての一種の批判的思考のようです。この考え方で使用された仮定は合理的に特定することができるが、当初は明示的に述べられていない。

これを考えると、実際には数学的結論の本質は何か?彼らは「非公式の控除」ですか? (例えば、ZFCのような公理に戻すことで微積分の基本定理のようなものを証明したことはないかもしれませんが、おそらくそれは次のようなものでなければなりません。完了)?もしそうなら、なぜこれは数学的コミュニティの標準的な手順ではないのですか?

私はこれらの質問が少なくとも比較的明確であることを願っています。

7

2 答え

証拠は、関連分野の数学者が正式化できると感じている、あるいは少なくともそうである傾向があると私は思えます。正式には、そうでなければ暗黙のうちに有効と認められる手順を明示的に述べることを含む。問題は、おそらく長年受け入れられてきた結果を通して読者の時間を浪費させることによって、読書校正が効果的に廃棄者の時間を浪費するような、細部のウェルターの中心的な結果をおそらく不明瞭にすることである。これはおそらく、形式化が「数学的コミュニティにおける標準的な手順」ではない理由です。

しかし、コンピュータ支援校正への関心が高まっていることから、公式化が注目されている。 cf. コンピュータの形式化に関するMike Shulmanのこの記事特に、Shulmanのコメントには「(私があなたがすでに紙でやっている数学を形式化するのとは対照的に)証拠助手と一緒に数学をすることの追加の利点」があります。これは特に型理論とホモトピー型理論では特に顕著です。

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私はこれに同意しますが、一度それを論じた人とインターネットの議論に入り、Godelへのあいまいな言及をしました...あなた(または他の誰か)は、プロフェッショナルな数学者や哲学者からの引用を知っていますか?それを正式化することは可能であることが概念的に明らかであるべきです(実際にそうしているのは退屈で、努力に値するものではありませんが)。
追加された 著者 Craig B.,
私は頭の上から引用符を知らないが、私が数学の学部学生であったとき、何かが真実であることを示すだけでなく、それが真実であることを証明する教授がいくつかあった。たとえば、建設によって進められる証明は、何かが真でなければならないことを示しているだけでなく、例を作るためのアルゴリズムを示しています。
追加された 著者 James Kingsbery,

あなたの証拠は完全に正式なものではないかもしれませんが、少なくとも真実のものでなければならないと予想されます。それが正式であれば、それは真実であるだけでなく、検証可能でもあります。誰かがあなたの証拠を見抜いて間違いや穴を指摘した場合は、間違いを認め、穴を認めたり、穴を埋める方法を説明したりすることが期待されます。

証拠の著者として、そして証拠のためにあなたの聴衆に、あなたにはもっと多くの期待があります。あなたの聴衆があなたの証拠に気付かなかった場合、あるいはあなたの証明を読んでチェックする方が良い場合、あなたの証明は実際の数学的証明ではありません。しかし、読者がいて、彼らが間違いや欠点を指摘した場合、著者は適切に対応しようとすべきです。読者はあなたが質問と反対に適切に反応しない場合に気付くでしょう。それはゲームのルールを完全に理解していない子供に対してチェスをするような気分になります。彼らは規則を説明しようとするかもしれませんが、結果はしばしばあなたの証拠が単に無視され、もはや数学の一部とみなされないということです。

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