ゲデルの不完全性が数学全体に及ぼす影響を避ける方法はありますか?

私はゲデルの不完全性定理とその数学全体の影響について考えてきました。

この問題では、定理が成立するのに十分な表現形式Fを仮定します。

定理の本質は、真実であるが判明しない数論的事実があるように思われる。

では、可能な数学の基礎について話しましょう。自然数の算術演算は、数学の不可欠な部分です。したがって、基礎は、定義による算術演算を含む必要があります。また、財団はそれにいくつかのオントロジを持たなければならない。たとえば、ZFCのオントロジには純粋な集合だけが含まれ、他には何も含まれません。

ZFCのすべてのオブジェクトは数字を含むセットなので、不完全性は数字だけでなくセットにも広がり、算定とは完全に無関係の決定不能な問題を引き起こします。

数字が存在し、数字に正式に接続していない他の基本的なオブジェクトも存在するのでしょうか?

今、この財団のこれらの数字は、「浄化ゾーン」を離れることはありません。その不安定性の問題は、基礎全体にわたるような広がりはなく、他の基本的なオブジェクトは「健康」です。

そのようなことは実現可能ですか?考えられるすべての数学基礎に不可欠なZFCの状況はありますか?

私の理解に欠陥がありますか?

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それは実際には数ではなく、無限のコンテンツと離散的なコンテンツが混在していることです。実数と複素閉フィールドは決定可能であり、それらは数値であることを忘れないでください。
追加された 著者 jobermark,

4 答え

それは自然な考えですが、残念ながら答えはいいえ、実現可能ではありません。不完全さの根は数字ではありませんが、(暗黙的な)自己参照の可能性は、すでにその可能性を実現している単純な構造にすぎません。実際には、Peano算術は必要ありませんが、ずっと弱いロビンソン算術もありません証拠を誘導する誘導。最終的に重要なのは、理論に数字や集合などがあるのか​​、それともどのように繋がっているのかということではなく、理論の表現力だけです。算術演算の最小限の表現力を模倣できる限り、数字を他のオブジェクトに結びつけるかどうか、あるいは数字があるのか​​どうかにかかわらず、不完全さは決まりません。不完全性は数字から広がるわけではなく、数値をシミュレートできるものに固有のものです。他のオブジェクトが「健全な」ままではいられないのであれば、その理論は算術よりも弱いので、すべてを数学的に算術的に減らすことを約束しているからです。算術は存在しない、基本ブール代数および基本平面の幾何学は例である)。

One can go a surprisingly long way with that actually, this is called predicative mathematics. As nominalists like Field showed, while it is weaker than classical mathematics, it is enough for all the purposes of classical physics at least. In predicative mathematics the incompleteness is essentially reduced to that of arithmetic only. Wittgenstein was willing to go even further, and reduce mathematics to primitive recursive arithmetic, which is finitist, see Was Wittgenstein anticipating Gödel? But if we really want to beat incompleteness without trivializing mathematics, structural manipulations won't help, we have to give up one of Gödel's other premises: either that mathematics is recursively axiomatizable (axioms are recognizable as such), or that it is consistent (or both). Again, Wittgenstein was willing to give up consistency and confine contradictions using what later developed into non-classical ("dialetheic") logic. Development of these ideas led to modern inconsistent mathematics, which produces complete inconsistent arithmetics that can prove non-triviality of their consistent parts, see Does Gödel's argument that minds are more powerful than computers have the inconsistency loophole? and In which text/paper was the concept of dialetheism first introduced as a serious position?

しかし、予言主義、有権者主義、またはダイアトリス主義が数学者の間で主流の立場になることは考えにくい。それらは、完全性または基礎のいずれかを実際に必要としない既存の数学的実践をサポートするには、あまりにも制限的および/または人工的であると見なされる。

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Conifoldの答えを補うために、ここを見てみましょう。 文 about の数論は、常に in の数論でもあります。任意の数の理論定理を取って、適切な符号化を使って記号を数で置き換えると、最終的に方程式が得られます。

このため、自然数の算術を包含するのに十分な豊富なシステムは、自己参照を避けることができません。 Conifoldが自己参照を指摘しているように、Godelの定理の中心にあるパラドックスは避けられません。

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Gödelの不完全性定理は、オメガ整合である任意の自己参照システムで証明されています。しかし、巧妙な回避策があります。 Dan Willardの研究は、特に、乗算が完全な関数であると仮定しない場合(すなわち、乗算することができない数が存在する場合)、巧妙な回避策を検討した。彼は算術の真理を証明できるようなシステムを開発することができましたが、システムはGödelの証明に不可欠な対角化の補助定理を認めるほど弱すぎませんでした。そのようなシステムは、独自の一貫性を証明することができますが、Gödelの証明に必要な補題は証明できませんでした。

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@EliranH真実ですが、あなたがその行を始めると表示されるいくつかの魅力的な詳細があります。特に、乗算が合計であることを証明できないシステムに入ることはできますが、a * b = cというようにcにはないようにaとbの2つの数が存在しなければならないことも証明できません。彼のウェブサイトには、PDF形式の論文がたくさんあります: cs.albany.edu/FacultyStaff/profiles /willard.htm
追加された 著者 shimonyk,
あなたが「算術のすべての真理」と言うとき、あなたは「足りない」乗算を排除することを意味します、そうですか?とにかく、リンク?
追加された 著者 CB Bailey,

はい、ロジックスクールに参加しています。ゲッデル文は論理主義に脅威を与えない。なぜなら、自己参照文は論理学者にとって意味がないからである。

ゲッデル文Gの意味は、各Gの構成要素が決定されるまで決定することはできない。 Gの構成要素の1つはGそのものなので、悪循環が続く。形式主義者にとって、数学は意味のない塊であるため、ゲデル文は有効な議論を提示する。論理学者にとって、意味は基本的なものです。ゲッデル文は意味がないので、ゲッデル文Gは論理主義に影響を与えない。

実用的な応用がある数学の枝は、意味に関係しなければならない。

大きさに数を割り当てることを測定といいます。測定は数学にとって基本的なものではありません。

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@jobermark:本書(おそらく関連する見積もり)から、「我々は論理論の論理としての数学の真理の導出可能性についての論理学の広い視点を取るならば、G.subodelの定理がその論文に対して数えられるかどうかという疑問が残る。削減に必要な論理システムが再帰的に公理化できないという定理。
追加された 著者 driis,
ゲッデルは形式主義者の間で波を起こすことができます。なぜならナンセンスは形式主義がすべてであるからです。形式主義者と論理主義者の間には議論がありません。一つはナンセンスです。もう一つはそうではありません - これはまさにラッセルがゲデルと出会ったときに起こったことです。私はラッセルの例にしたがって、皆さんだけを残します。ご多幸を祈る。
追加された 著者 John Doyle,
ラッセルは寛大だった。彼はニュートンライプニッツスタイルの喧嘩を始めたくなかった。さらに、魔法は科学の先駆けです。イベントのいくつかの奇妙なシーケンスによって、皆さんは役に立つものを調理することができます。知るか。
追加された 著者 John Doyle,
Goedelの数字は文ではないので、これは方法ではありません。それは文章のみを表し、その周りの関数は引数を表します。しかし、システム全体が成功すれば、内部のシミュレーションも成功するように設定されています。 Gの構成要素のどれもGそのものではなく、Gの構成要素の1つは、シミュレーションでGを表すために割り当てられた番号です。私はゲームで自分自身を表現するためにいくつかのトークンを割り当てることができ、ゲーム全体をプレイすることは依然として有益なことがあります。ゲームが自分自身について何かを教えてくれれば抽象的であるにもかかわらず意味があります。
追加された 著者 jobermark,
あなたが議論ではなく侮辱を扱っているなら、あなたはここに属しません。あなたは私の反対のどれにも対処していません。胆汁を噴出することは、この交換に関するコメントのポイントではない。
追加された 著者 jobermark,
RusselはGoedelの作品を完全に認めました。以下の回答を参照してください: philosophy.stackexchange.com/questions/3951/… あなたは偽りを吐き続ける。
追加された 著者 jobermark,
@ user170039または、他の仮定を弱めることができます。私はここの反対側にいません。私はちょうど答えが与えるよりもすべての面でより多くの敬意を払っていると思う。陳氏は、その勘定についての不当な虐待となり、酷使されている。
追加された 著者 jobermark,