ゲーデルの定理のための偽善 - なぜ?

なぜゲーデルの不完全性定理は数学者をとても悲しくするのですか?実数、複素数、四元数などのユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学(ユークリッド幾何学の内部で解釈可能)の算術のような完全で決定的で一貫性のある数学の断片があります。この数学の大きな部分は十分ではないか、勉強に値するのでしょうか?

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@jobermark私はあなたのことを理解していません。いくつかの理論、例えば。ユークリッド幾何学は、数学的に完全であることが証明されている。
追加された 著者 CB Bailey,
これらの事柄のいずれかが完結しているかどうか、どのように分かりますか?そして、ほんのわずかなケースでは、一貫しているとみなされ、決定的ではありません。それらのほとんどは間接的に数論を符号化することができ、それは不完全であるので、それもそうである。あなたがそれらを制限して(例えば、あなたが整数の集合を特別なものとして選ぶことを許さないなど)、これを認めないようにすると、興味深い問題のほとんどが失われます。はい、私たちは完全な答えを完全に最適化することはできません。
追加された 著者 jobermark,
ユークリッド幾何学は完全ではあるが、それ以外の場合は数論に関連する問題を除外するだけである。つまり、古典的な公理化を意味するのは、実際には有用でないか興味深い理論の玩具版である。
追加された 著者 jobermark,
@EliranH(これは、あなたがコメント全体を読まなかったことを明確にします)。ユークリッド幾何学は、EG + EGだけでなくすべての算術演算で使用されます。そしてそれは不完全です(「完全性定理」の意味を除いて)
追加された 著者 jobermark,
@EliranHまあ、整数なし​​の実数は面白いかどうかにかかわらず、有用ではありません。私はその理由の例を挙げました。算術は、最も有用な質問の基本です。実数論のみを使って整数制約の問題を最適化するという複雑さに関する質問には答えられません。そうです、一般的な線形計画法は時間的に二次的です。しかし、ほとんどの実際の問題には何らかの種類の整数制限が関係しているので、あまり使用しないでください。私は再び自分自身を繰り返すつもりはない(ありがとう)
追加された 著者 jobermark,

2 答え

1つの可能な答えは次のとおりです。ヒルベルトのプログラムは、数学の一貫性を証明することでした。セット理論)を使用しています。 Gödelの 2番目の不完全性定理はこれが不可能であることを示しています。実際、それは方法が逆転すべきであることを示しています。弱いものではなく、一貫性を証明するために強い説を使用する必要があります。

Peter Smithは、彼の素晴らしいGödelの定理の紹介の中で、これについての明確な書簡を持っています。

第2定理の実際の影響は、理論が独自の一貫性を証明する上での制約にはありません。要点はこれです。素敵な算術理論 T でも一貫性があると証明できない場合は、より豊かな理論 T + は一貫しています。したがって、他のより危険な数学理論が良好な形であることを証明するために、「安全な」推論を使用することはできません。例えば、私たちは、集合論の一貫性(荒々しい無限集合の宇宙の仮定)を自分たちに確信させるために、問題のない数学的推論を使うことはできません。

     ヒルベルトのプログラムと呼ばれるものを妨害しているように見えるので、非常に興味深い結果です。これは厳密には無限の数学の荒野を守るプロジェクトです。安全な方法です。

これは実際に数学者に問題がありますか?実際にはそうではないでしょう。

最初の不完全定理については、再び私はそれが数学者を困らせるとは思わない。たとえ説得力のない文に直面したとしても、彼らはより強固な理論の中でそれを(あるいは否定する)試みることができます。たとえば、グッドスタインの定理の例を参照してください。

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追加された

実数の算術演算は完全ではなく、一貫している 。実際、これは不完全性が本当に重要な領域です。自然数と実数の基数の間に基数がある集合が存在するかどうかを問うContinuum仮説を考えてみよう。このステートメントはZFでは決めることができず、さらにCHとその否定の両方がZFの他の部分と一貫しています。

もう一つの問題は、多くのシステムが自然数でモデルを認めることであり、それらを不完全にすることです。ジオメトリの公式化(または、おそらくより抽象的なもの)をいくつか持つことができます。これは自然数の算術演算とは明白な関係がありません。命題論理のような弱い正式なシステムだけが、通常、不完全さを逃れることができます。

これは、数学の哲学の特定の種類の親和性を持つ人々のためのイライラ問題ですが、私はそれが一般的に数学者にとって非常に悲惨だとは思わない。 1つは、ほとんどの現役数学者は、数学の哲学をあまり気にしない(それについて多くは知らない)。数学について哲学的に真実なのは、実際に数学をすることとは直接関係がありません。

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