コールの定性的特性

アービトラージ引数を使用して、コールオプションに次の関係を示すことができます。

$$ \ frac {\ partial {C_t(T、K)}} {\ partial {K}} \ leq0 $$

$$ \ frac {\ partial ^ 2 {C_t(T、K)}} {\ partial {K ^ 2}} \ geq0 $$

$$ \ frac {\ partial {C_t(T、K)}} {\ partial {T}} \ geq0 $$

ここで、$ C_t(T、K)$は、満期TのストライキKについて、時刻tのコール価格であるが、明らかに、最後の関係の成熟度に関して派生を取ることによってこれらの関係を示すことができる。第2の関係(すなわち、蝶の広がり関係)を示しています。利益は凸関数であり、2次導関数は常に正または負であることに気付く必要がありますが、私はこれらの関係を示すアービトラージ引数を探しています。 誰かに見せたいと思ったら、感謝します。

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最初の不等式:真でない場合は、ストライクコールが低いほうがストライクコールのほうが安くなります。したがって、より高いストライキを売却し、信用スプレッドの下限ストライクを購入し、終値にかかわらず、下限ストライキは決して高いストライキよりも価値が低いことはないことに注意してください。 3番目は、おそらくアメリカ式のオプションにのみ当てはまり、カレンダースプレッドを作成することです。真ん中の後にはわからない。
追加された 著者 saint_groceon,

1 答え

$$\begin{array}{rcl} (1) & \partial_KC_t(T,K) & \leq 0 \\ (2) & \partial^2_KKC_t(T,K) & > 0 \\ (3) & \partial_T C_t(T,K) & \geq 0 \\ \end{array}$$

If $(1)$ doesnot hold, it exists $K_10$, at maturity you receive $(S_T-K_1)^+-(S_T-K_2)^+\geq 0$. There is an arbitrage.

If $(2)$ doesnot hold, it exists $\epsilon>0$ and $K>\epsilon$ such that $C_t(T,K-\epsilon)+C_t(T,K+\epsilon)\leq 2 C_t(T,K)$. Then you buy $C_t(T,K-\epsilon)$ and $C_t(T,K+\epsilon)$ and you sell $2C_t(T,K)$, your cash position is $2 C_t(T,K) - C_t(T,K-\epsilon)+C_t(T,K+\epsilon)\geq 0$. at maturity you get $(S_T-(K+\epsilon))^++(S_T-(K-\epsilon))^+-2(S_T-K)^+\geq 0$ which is the butterfly spread you mention. Note that with non-null probability, this payoff is positive. There is again an arbitrage.

Assuming you talk about american call options. If $(3)$ doesnot hold, it exists $T_1C_t(T_2,K)$. Then you buy $C_t(T_2,K)$, you sell $C_t(T_1,K)$, your cash position is $C_t(T_1,K)-C_t(T_2,K)>0$. At any time $\tau\leq T_1$, the buyer of $C_t(T_1,K)$ can exercise its right, and then you owe him $(S_\tau-K)^+$, but since you buy an american option $C_t(T_2,K)$, you can also exercise your right at time $\tau$ and you net position. Again since you build a positive cash position leading to a non-negative positive (here equal to $0$), you build an arbitrage.

この第3の関係は、アメリカの選択肢に関係します。また、2つの最初の関係は、通話オプションを購入する代理店の運動時間である$ T $〜$ \ tau $を適応させることによって、アメリカの通話でも機能することに注意してください。

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追加された
いい答えだ。 (3)は、固定ストライキの代わりに固定金利のフォワード・レベルでデリバティブが計算されている場合には、欧州のオプションについても同様であることに注意してください。
追加された 著者 Abhirup Manna,