アメリカの永久的な置くための解決策

私はアメリカの永久プットの価値を資産価値$ S $の観点から決定する必要があるエクササイズを試みてきました。エクササイズの解決策は次のとおりです:

When $S>S_f$ (the optimal exercise boundary) P will satisfy

【数1】【数2】【数3】【数4】【数5】【数6】【数7】【数8】部分S} = 0 $   (標準BS pde)

ここで$ r $はリスクフリー金利であり、$ \ sigma $は$ S $のボラティリティです

私はその部分を理解していますが、$ \ lambda $が実数である$ P = S ^ {\ lambda} $ という形式の解を仮定しようとしています。

誰もこの前提の背後にあるアイデアを説明できますか?

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これは、PDEとODEがしばしば解決される方法です。誰かがソリューションの形式を推測し、その式が満たされていることを検証しようとします。多くの試行錯誤が頻繁に行われます...あなたはSを試してから、$ S ^ n $、$ \ In S $などを試してみてください。それはエレガントなビジネスではありません。
追加された 著者 frerechanel,

2 答え

@Alexによって提供される説明を詳しく説明すると、PDEを見ると、$ S $項は$ \ dfrac {\ partial} {\ partial S} $と対で現れることがわかります。つまり、$ S \ dfrac {\ partial} $と$ S ^ 2 \ dfrac {\ partial ^ 2} {\ partial S ^ 2} $です。これは、$ S $の多項式関数を適用すると、これらの演算子を適用した後、$ S $の指数は変化しない、すなわち$ S \ dfrac {\ partial S ^ n} {\ partial S} \ nS ^ n $と同様に$ S ^ 2 \ dfrac {\ partial ^ 2 S ^ n} {\ partial S ^ 2} \をn(n-1)S ^ n $に変換する。これは、PDEでこのansatzを試した後、$ n $の多項式だけを残してキャンセルすることを意味します。これは、解を持つことができれば、最初のansatzを正当化します。

一般的にPDEを解決しようとするのは面倒なので、問題に固有のショートカットを常に探しているということです。 PDE問題を解決する上での良い考え方は、実際のP​​DEを一般的に解決することは比較的簡単ですが、比較的難しいビットは境界条件を適用することです!したがって、PDEを解くときは、境界条件がどのように表現されているかを覚えておく必要があります。それらが$ S $の多項式関数であれば、私たちはansatzとして多項式関数を試してください。波境界条件がある場合は、波アンサッツなどを試してください。

例:

以下 $$ \ frac {\ partial ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} -rP + r \ frac {\ partial P} {\ partial S} = 0 $$ 典型的には$ P = \ exp(\ mu S)$の解を動機づけ、$ \ mu $を解く。

より一般的な正当化は、線形代数のほとんどのコースで見つけることができ、Sturm-Liouville問題の例を見ることをお勧めします。しかし、一般的な推論では、根拠を簡単に解決できるものに変更することです。ルジャンドル多項式、ベッセル関数などの元のPDEを解くことができましたが、解決策はきちんとしたものではありませんでした。しかし、あなたは経験を描くことによって試してみることだけを学び、何年もの経験と賢明な正当化をしても、しばしば試行錯誤に頼ることができます。

私はこれが役立つことを願っています

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追加された

尊重すると、この問題は、マーチンゲールの特性と支配的な収束定理に関連していたと思います。

(0、K)$を固定価格とすると、行使価格$ K $のプット・オプションの行使について、以下の選択肢を考慮することができる。

  • If $S_t\le K$, then we exercise contract at time $t$, and were delighted.
  • O.W. we should wait until the first hitting time(of course we can play PS4 until the first hitting time!!) $$\tau_L=\inf \{u\ge t:S_u\le L \}$$ In case $S_T\le L$, the payoff will be $(K-S_t)^{+}$ since $K>L\ge S_t$. In case $S_t > L$, the price of the option will $$P_L(t,S_t)=E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-r(\tau_L-t)}(K-S_{\tau_{L}})^+|S_t\right]$$ You know that the underlying asset price is written as $$S_t=S_0e^{rt+W^{\mathbb{Q}}_t-\frac{1}{2}\sigma^2\,t}\,\,(1)$$ We claim $$P_L(t,S_t=x)=\left\{ \begin{align} & K-x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,0

証拠

一般性を失うことなく$ t = 0 $

  1. The result is obvious for $S_0=x\le L
  2. (Fasten seat belt) Noe we should consider difficult case, i.e. $S_0=x>L$ .We know $$P_L(x)=E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-r(\tau_L-0)}(K-S_{\tau_L})^+|S_0=x\right]=E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-r\tau_L}(K-L)|S_0=x\right]$$ thus we just calculate $E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-r\tau_L}|S_0=x\right]$. For this, we note that from $(1)$ for all $\lambda\in\mathbb{R}$ the process $\{Y_{\lambda}(t)\}_{t\ge 0}$ as defined $$Y_{\lambda}(t):={\left(\frac{S_t}{S_0}\right)}^{\lambda} e^{-t(r\lambda-\lambda(1-\lambda)\sigma^2/2)}=e^{\lambda\sigma W^{\mathbb{Q}}_t-\frac{1}{2}\lambda^2\sigma^2\,t}$$ is a martingale under the risk-neutral probability. Choosing $\lambda$ such that $$r=r\lambda-\frac{1}{2}\lambda(1-\lambda)\sigma^2$$ then $\lambda=1$ or $\lambda=-\frac{-2r}{\sigma^2}$. Choosing the negative solution, we have $\mathbb Q(\tau_L<\infty)=1$ and the bound
    $$0\le Y_{\lambda}(t)={\left(\frac{S_t}{S_0}\right)}^{\lambda} e^{-t(r\lambda-\lambda(1-\lambda)\sigma^2/2)}={\left(\frac{S_t}{S_0}\right)}^{-\frac{2r}{\sigma^2}} e^{-tr}\le {\left(\frac{L}{S_0}\right)}^{-\frac{2r}{\sigma^2}} $$ since $r>0$ and $\lambda=-\frac{-2r}{\sigma^2}$. This yields $${\left(\frac{L}{S_0}\right)}^{{-\frac{2r}{\sigma^2}}}E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-r \tau_L}\right]=E^{\mathbb{Q}}\left[\left(\frac{S_{\tau_L}}{S_0}\right)^{-\frac{2r}{\sigma^2}}e^{-r\tau_L}\mathbb{1}_{\{\tau_L<\infty \}}\right]=E^{\mathbb{Q}}[Y_{\lambda}(t)\mathbb{1}_{\{\tau_L<\infty \}}]$$ as a result $${\left(\frac{L}{S_0}\right)}^{{-\frac{2r}{\sigma^2}}}E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-r \tau_L}\right]=E^{\mathbb{Q}}\left[\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }} Y_{\lambda}(\tau_L\wedge t)\right]=\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}E^{\mathbb{Q}}\left[Y_{\lambda}(\tau_L\wedge t)\right]=E^{\mathbb{Q}}\left[Y_{\lambda}(0)\right]$$ Indeed we used the dominated convergence theorem,we have $${\left(\frac{L}{S_0}\right)}^{{-\frac{2r}{\sigma^2}}}E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-r \tau_L}\right]=E^{\mathbb{Q}}\left[Y_{\lambda}(0)\right]=1$$ In the oher words $$E^{\mathbb{Q}}\left[e^{-r\tau_L}|S_0=x\right]={\left(\frac{x}{L}\right)}^{-\frac{r}{2\sigma^2}}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,x>L$$
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追加された