2項木手法を用いて$ u $と$ d $係数を導出する

ハルの本から、二項木アプローチを用いた株価の上下動係数$ u $と$ d $を導き出すと、ある時点で次の方程式が得られる:

$$ e ^ {\ mu \ Delta t}(u + d) - ud - e ^ {2 \ mu \ Delta t} = \ sigma ^ 2 \ Delta t。$$

そして、上の方程式を解くことにより、$ u = {\ sigma \ sqrt {\ Delta t}} $と$ d = e ^ { - \ sigma \ sqrt {\ Delta t}} $が得られると述べられている。また、Taylorの公式を使用して$ \ Delta t ^ 2 $以上の用語を使用していることにも注意してください。

$$ e ^ x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ dots。$$

この結果にどのように到達するのかを明確にしてください。

これまでのところ、私はTaylorの公式を使っています。

$$ e ^ {\ mu \ Delta t} \ approx 1 + \ mu \ Delta t、$$ $$ e ^ {2 \ mu \ Delta \} \ approx 1 + 2 \ mu \ Delta t。$$

そして、上の方程式は

$$(1+ \ mu \ Delta)(u + d) - ud - 1 - 2 \ mu \ Delta t = \ sigma ^ 2 \ Delta t。$$

私はここから進める方法が混乱しています。私はいくつかの代数をしようとしましたが、結果は得られませんでした。例えば、$ ud = 1 $と仮定すると、

$(1 + \ mu \ Delta t)(u + d)-2(1 + \ mu \ Delta t)= \ sigma ^ 2 \ Delta t、$$ $$(1+ \ mu \ Delta t)(u + d-2)= \σ^ 2 \ Delta t $$ そして $$ u + d = \ frac {\ sigma ^ 2 \ Delta t} {1+ \ mu \ Delta t} + 2 $$

ここで私は立ち往生しています

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30個を超える二項木の離散化が存在し、これはそれらのうちの1つに過ぎず、実際には古くなっていることに注意してください。
追加された 著者 Steven Dick,

1 答え

We assume that $u=e^x$ and $d = e^{-x}$. Note that \begin{align*} u &\approx 1+ x +\frac{x^2}{2}, \textrm{ and}\\ d &\approx 1- x +\frac{x^2}{2}. \end{align*} Substituting these into your last equation, \begin{align*} u+d = \frac{\sigma^2 \Delta t}{1+\mu\Delta t} + 2, \end{align*} we obtain that \begin{align*} x^2 \approx \frac{\sigma^2 \Delta t}{1+\mu\Delta t}. \end{align*} Note also that \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{1+\mu\Delta t}} \approx 1-\frac{1}{2}\mu\Delta t+\frac{3}{8}(\mu\Delta t)^2. \end{align*} Consequently, \begin{align*} x & \approx \frac{\sigma \sqrt{\Delta t}}{\sqrt{1+\mu\Delta t}}\approx \sigma \sqrt{\Delta t} -\frac{1}{2}\mu\sigma (\Delta t)^{3/2} + \frac{3}{8}\sigma \mu^2 (\Delta t)^{5/2} \approx \sigma \sqrt{\Delta t}. \end{align*} That is, \begin{align*} u &= e^x =e^{\sigma \sqrt{\Delta t}},\\ d &= e^{-x} =e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}. \end{align*}

1
追加された
@ IvanovNikita、私の更新を参照してください。
追加された 著者 Gordon,
$ \ sqrt {x} $は、$ x $よりも0に向かってゆっくりと進む傾向にあることを覚えておいてください。
追加された 著者 Abhirup Manna,
ご回答有難うございます。あなたはなぜ$ \ frac {\ sigma \ sqrt {\ Delta t}} {1 + \ frac {1} {2} \ mu \ Delta \} \ approx \ sigma \ sqrt {\ Delta t} $を説明できますか?分母が1に等しくなるように$ \ Delta $が小さいと仮定します。なぜ、分子がゼロに等しくないように、$ \ sqrt {\ Delta t} $が小さすぎないと仮定しますか?
追加された 著者 user18345,