幾何平均、標準偏差、およびシャープ比

私は3つの関連する質問があります:

a)私はGMやGSの数式を見てきました。どちらが正しいですか?

GMの場合、平均(ln(1 + rt))とexp(平均(ln(1 + rt)))-1

もう一度GSについては、std(ln(1 + rt))とexp(std(ln(1 + rt))) - 1

私は、この質問に正解があるのか​​どうか、それとも単なる質問に過ぎないのか分かりませんが、指数を適用してログ操作をやり直すべきです。

b)幾何平均(GM)は算術平均(AM)から分散(V)の半分を引いたものにほぼ等しいというよく知られた近似である。

これは、これと他の近似について議論している素敵な論文です)

GS = AM-V/2と似たGSの簡単な近似を知っている人はいますか

経験的には、ガウスのリターンをシミュレートし、また実際のデータに基づいて、幾何標準偏差(GS)はASに非常に近いようです。しかし、これは多くの要因に依存します。

  • std(...)またはexp(std(...))-1を使用するかどうか[以下を参照]。明らかに後者は常に大きくなります。
  • ASのレベル。より高いレベルのASでは、GSは一般的にASよりも高くなります。
  • 返品のシャープレシオ。 Sharpe比が0.25 GSの場合は、ASより少し高いです。 1.0 GSのシャープレシオはASより低い。

c) Given GM less than AM and AS~GS, I don't understand why it's usually quoted that "geometric Sharpe ratios (GM/GS) are higher than arithmetic (AM/AS)"

これも実験では、これは非現実的に高いSharpesに当てはまると思われます。幾何学的シャープが算術よりも小さい、約0.7以下のSharpesに対しては、現実の世界では、Sharpesが0.7以上の資産はあまりありません....

それは、質問(a)の答えが何であるかによっても異なります。 GSとGMの指数バージョンでは、単純なバージョンよりもシャープレシオがわずかに低くなっています。

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1 答え

量$ \ {a_1、\ dots、a_n \} $の幾何平均は $$ \ bar {a} _g = \ left(\ prod_ {i = 1} ^ n a_i \ right)^ {1/n} $$ 両辺の対数を取ると、 $$ \ log \ bar {a} _g = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n \ log a_i $$ 幾何平均の対数は対数の算術平均と等しくなります。

あなたの場合、関連する量$ a_i $は各期間の成長率であり、 $$ a_i = 1 + r_i $$ これを上記の式に差し込むと、 $$ \ log(1 + r_i)\ log(1 + \ bar {r} _g)= \ frac {1} {n} \ sum_ { $$ これは次のように並べ替えることができます $$ (1 + r_i)\ right) - 1(\ frac {1} {n} \ sum { $$ 幾何学的な成長率を計算するためには、ログの算術平均を累乗して(そして1を引いて)訂正してください。あなたが時々見る理由 $$ \ bar {r} _g = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n \ log(1 + r_i) $$ 成長率が小さい場合には、 $$ \ log(1 + \ bar {r} _g)\ approx \ bar {r} _g $$ それはしばしば近づくことができる近似です。


$ \ {a_1、\ dots、a_n \} $の幾何標準偏差を定義するために、幾何平均の対数は対数の算術平均であるという上記の考え方を使用します。同様に、幾何分散$ \ sigma_g ^ 2 $のログをログの算術分散と定義する -

$$ \ log \ sigma_g ^ 2 = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n \ left(\ log a_i - \ log \ bar {a} _g \ right)^ 2 $$

ここでも、右辺の$ a_i = \ log(1 + r_i)$を代入して、近似を使用することができます $$ \ log(1 + x)\ approx x - \ tfrac {1} {2} x ^ 2 $$ 算術標準偏差$ \ sigma_a ^ 2 $の観点から$ \ sigma_g ^ 2 $への近似を計算し、その分布の瞬間を計算します。


あなたの質問の最後の部分については、「なぜ幾何学的な尖鋭度が算術よりも高いと言われているのか分かりません」 - それは本当ですか?私は誰もその主張を見たことがない。

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追加された
@robcarverそのリンクのコメントが間違っています。おそらく著者は誤って話しました。一般的には、リターンの算術平均が幾何平均を支配し、算術シャープ比が幾何シャープ比を支配することが期待されます。
追加された 著者 Brandon Haugen,
これは素晴らしい。あなたの質問に答えるために、クレームはこの他のスタックの答えにあります:
追加された 著者 Silas,
quant.stackexchange.com/questions/3607/… 他の場所でも同様です。通常、常に低いGM効果は、ほとんど常にわずかに低いGVでさえも支配するので、そうは考えにくい。
追加された 著者 Silas,