三項モデルはBlack-Scholesに弱く収束する

Consider risk-neutral trinomial model with $N$ periods presented by $$S_{(k+1)\delta}H_{k+1}, \ \ \text{for} \ \ k=0,\ldots,N-1$$ where $\delta:=\frac{T}{N}$ and $\{H_k\}_{1}^{N}$ is a sequence of i.i.d random variables with distribution $$H_k = \begin{cases} e^{\delta(r-\sigma^2/2)+\sqrt{3\delta}\sigma} \ &\text{with probability} \ \hat{\pi} = \frac{1}{6}\\ e^{\delta(r-\sigma^2/2)} \ &\text{with probability} \ 1 - \hat{\pi} = \frac{2}{3}\\ e^{\delta(r-\sigma^2/2)-\sqrt{3\delta}\sigma} \ &\text{with probability} \ \hat{\pi} = \frac{1}{6}\\ \end{cases}$$ and $\hat{\pi}$ < 1/2. Show that as $\delta\rightarrow 0$, this trinomial model converges to the Black-Scholes model in the weak sense. Hint: Find $Z_k$ such that $\ln(H_k) = (r - \sigma^2/2)\delta + \sigma\sqrt{\delta}Z_k$. Then show (3.6)

(3.6)は、$ \ hat {\ mathbb {E}} [Z_1] = o(\ delta)$と$ \ hat {\ mathbb {E}} [Z_1 ^ 2] = 1 + o(1)$ $ \ frac {1} {\ sqrt {N}} \ sum_ {k = 1} ^ {N} Z_k $は$ \ mathcal {N}(0,1)$に弱く収束します。

Attempted solution: Let $\{Z_k\}_{1}^{N}$ be a sequence of i.i.d. random variables with the following distribution $$Z_k = \begin{cases} \alpha \ &\text{with probability} \ \hat{\pi}\\ -\beta \ &\text{with probability} \ 1-\hat{\pi} \end{cases}$$ such that $\ln(H_k) = (r - \sigma^2/2)\delta + \sigma\sqrt{\delta}Z_k$.

私は本当にここから何をすべきかわからない、任意の提案は大歓迎です。

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1 答え

私は限界法とプロセスの法則が混在していると思います。

あなたの$ Z_k $は3つの値を持つ必要があります。可能な値ごとに$ \ ln(H_k)$の値を書くだけでいいです

$ X $を$(x_1、x_2、...、x_n)$と$ p_i = P(X = X_i)$とすると、$ P(f(X)= f(x_i))= \ sum_ {j = 1} ^ n p_j \ mathbf {1} _ {f(x_j)= f(x_i)} $

$ f $が1対1のマッピングであれば、$ f(x_j)= f(x_i)\ Rightarrow i = j $と$ P(f(X)= f(x_i))= p_i $となる。

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