Qと確率的な金利の下で株価をどのように値上げするのですか?

私は$ \ mathbb {Q} $の下で株式を価格付けすることに興味があります。

(t))dW(t)$$ dS(t)= \ mu(S(t))dt +

ここで、$ W(t)$は$ \ mathbb {P} $の下のウィーナープロセスであり、

$ dt(t)= a(b-r(t))dt + \ sigma(r(t))dZ(t)$$

ここで$ Z(t)$は$ \ mathbb {P} $の下のウィーナープロセスです。だから私は現実世界の金利と株価を観察し、$ \ mathbb {Q} $の下で株式を値段付けするためにそれらを使いたいと思う。私は論文の中で株価の微分方程式が次のようになることを見出しました:

$(t)= r(t)dt + \ sigma(S(t))dB(t)$$

そして

$ dt(t)= a(b-r(t))dt + \ sigma(r(t))dZ(t)、$$

where $B(t)$ is a Wiener process under $\mathbb{Q}$. But I don't understand, why the Wiener process for the Interest rate is the same as under $\mathbb{P}$. Does it mean that if I want to price the stock under $\mathbb{Q}$ is doesn't matter if my interest rates are priced under $\mathbb{Q}$ or not? Does it mean that if I price my stock under $\mathbb{Q}$ with real-world interest rates it そしてit is martingale, it is risk-neutral? Could you please help me?

ありがとう!

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私は$ \ mathbb {Q} $の下で、変数$ Z $、$ a $、$ b $がすべて変更されると信じています。紙に何も変化が見られないなら、私はその紙の品質を疑うだろう。
追加された 著者 Gordon,
私は@Gordonに同意する。あなたはその論文を参照していますか?
追加された 著者 Abhirup Manna,
はい、これは「Lin、X.S. and K.S. Tan、2003年、北米アクチュアリー・ジャーナル7(3):72-91「確率的金利下での株式インデックス型年金の評価」です。導出は付録Aにあります
追加された 著者 eater,

2 答え

論文の付録Aの派生は、「確定利率下での株式インデックス型年金の評価は間違っているです:Girsanov変換は、コンポーネントが独立している$ n $次元のブラウン運動に適用されます。しかし、$ n = 2 $の場合、ブラウン運動は依存しているので、2次元ブラウン運動を形成するためにそれらを単純に組み合わせることはできず、その後Girsanov変換を適用することはできない。

For your case, we assume that, under the real-world probability measure $\mathbb{P}$, \begin{align*} dS(t) &= \mu(S(t)) dt + \sigma(S(t)) dW(t)\\ dr(t) &= a(b-r(t)) dt + \sigma(r(t)) dZ(t),\\ \end{align*} where $\{W(t), t \ge0\}$ and $\{Z(t), t \ge0\}$ are two standard Brownian motions with instantaneous correlation $\rho$. Based on Cholesky decomposition, we can re-write the above dynamics as \begin{align*} dS(t) &= \mu(S(t)) dt + \sigma(S(t)) dW(t)\\ dr(t) &= a(b-r(t)) dt + \sigma(r(t)) d\big(\rho W(t) + \sqrt{1-\rho^2} B(t)\big), \end{align*} where $\{W(t), t \ge0\}$ and $\{B(t), t \ge0\}$ are two independent standard Brownian motions.

To obtain the dynamics under the risk-neutral probability measure $\mathbb{Q}$, let \begin{align*} \lambda(t) = \frac{r(t) - \mu(S(t))}{\sigma(S(t))}. \end{align*} Then, \begin{align*} \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}\big|_t = \exp\left(-\frac{1}{2} \int_0^t \lambda^2(s)ds + \int_0^t \lambda(s)dW_s \right). \end{align*} Moreover, under the measure $\mathbb{Q}$, \begin{align*} \widehat{W}(t) &= W(t) - \int_0^t \lambda(s)ds, \mbox{ and}\\ \widehat{B}(t) &= B(t), \end{align*} are two independent standard Brownian motions. Consequently, \begin{align*} dS(t) &= r(t) dt + \sigma(S(t)) d\widehat{W}(t)\\ dr(t) &= \big[a(b-r(t)) + \rho \lambda(t) \sigma(r(t)) \big]dt + \sigma(r(t)) d\big(\rho \widehat{W}(t) + \sqrt{1-\rho^2} \widehat{B}(t)\big). \end{align*} Note the extra term $\rho \lambda(t) \sigma(r(t))$ in this dynamics under the risk-neutral measure $\mathbb{Q}$.

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追加された

株式のスポットの価格をモデル化すると、それは現物価格になります(それ以外のものはもっと正確でしょうか?)。

株式の先物価格をモデル化した場合、借り換えを避けるために、キャリー・オブ・キャリーを適用したいと思うかもしれません。 現場に配当がない場合、時間$ T $の先物価格は $$ F_T = S_0 rT $$ ここで$ r $は、分析した期間に適用されるレートです。

金利モデルがある場合、同じ期間(同じ金利に較正されている場合)に同じ要因が与えられるはずです。したがって、それは同じを与える必要があります。

ところで、あなたは短期金利モデルを見ます。継続的な短期金利は存在せず、単独で取引することはできません。ちょうど同様のオブジェクト $$ E_Q [\ exp(\ int_0 ^ T r_u du)] $$ (FRA)を取引することができます。したがって、通常、短期金利の$ r_t $のSDEはQの下にあります.Qの下では、株価はリスクフリーのレートで増加します。

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追加された
こんにちは、債券価格が実世界の観測値であるという議論は重要ではありません。彼らは価格です。あなたが価格にマッチするプロセスに合うと、あなたはQの下で働き、価格測度(別​​名リスクニュートラル)になります。これは、あなたが価格と一致する期待をする未来(P-指標)を考えていることを意味します。
追加された 著者 Richard,
メジャーQを使うと、将来を予測することはできません。適用される桁上げコスト(詳細についてはgoogleを参照)は、裁定取引を防ぐ正しい価格を取得します。誰も未来を知りません。しかし、裁定取引を避けるための価格は...株式に値段を付けない - すでに取引されている時には価格があります。しかし、あなたは前方に値することができます。そして、あなたは将来についての手がかりを持っている必要はありません..あなたはただarbitrag無料の価格が必要です..
追加された 著者 Richard,
ありがとう!私は、国債価格とカルマンフィルタを使って、金利モデルのexstimatesを取得します。債券価格は実世界の観測値であるため、Pの下では一種です。
追加された 著者 eater,
債券価格を使って金利モデルのパラメータa、b、singmaを得ると、dS(t)= r(t)dt + \ sigma(S(t) )dB(t)将来の株価を予測する?そうであれば、なぜ人々は長期的なドリフトの調整の "リスクの市場価格"を使用し、調整後にそのリスクニュートラルと言う。それは、私が私が得るこの金利の債券または株式のためのこの "市場価格の価格"によって推定されたパラメータを使用して取得する金利を調整する必要があるかどうかの質問は、一般的に問題です:(私は混乱している:
追加された 著者 eater,