ジャンプ拡散に関する簡単な質問

秒以内のシュレブの教科書。 11.7.2 ジャンプ - 拡散プロセスが導入されました。より正確に

$$ (Q_t- \ beta \、\ lambda \、t \ right)\ quad(1)のように、dS_t = \ alpha \、dt + \ sigma \、S_t \、dW_t + S_ { $$

ここで、$ Q_t = \ sum_ {i = 1} ^ {N_t} Y_i $と$ N_t $はポアソンで強度は$ \λです。プロセスは次のように書き直されます。

$$ dT_t =(\ alpha- \ beta \、\ lambda)\、S_t \、dt + \ sigma \、S_t \、dW_t + S_ {t - } \、dQ_t \ quad(2)。 $$

問題は、ジャンプが存在せず、したがって$ S_t = S_ {t - } $の時点からの部分で、サイズが$ Y_iのジャンプがあると(1)から時間$ t $でそれを保持する

$$ \ frac {S_t-S_ {t - }} {S_ {t-}} = Y_i \ rightarrow S_t = S_ {t - } \、(Y_i + 1)。 $$

と私は得る

$$ dT_t = S_ {t - } \、\ beta \、\ lambda \、dt \ neq(\ alpha- \ t \、\ lambda \、S_t \、dt + \ sigma \、S_t \、dW_t + S_ {t - } \、dQ_t。 $$

ここに教科書のスナップショットがあります。

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3
あなたはより具体的にどのように不等式を持っていますか?それは単純に用語の並べ替えであると私には思われます。
追加された 著者 Gordon,
私は教科書に書かれているものをここに報告する
追加された 著者 Bogdan0x400,

1 答え

あなたの問題は$ t ^ - $表記規則のせいでしかないのでしょうか?

そのように考えると、ジャンプ時間に$ S_ {t ^ - } $と$ S_t $を区別するだけの価値があります。ブラウン運動パスが連続であることを知っていれば、常に$ S_t = S_ {t ^ - } $になります。

したがって、SDEを書くこともできます:

$$ \ frac {dS_t} {S_ {t ^ - }} = \ alpha dt + \ sigma dW_t + d \ left(Q_t- \ beta \、\ lambda \、t \ right)$$

あるいは、$ t ^ - $表記をあなたが気にするならば、単にそれを落としてください。 càdlàgパス(右連続$ S_t $、左限$ S_ {t ^ - } $)を持つプロセスを扱っていることを覚えておいてください。

2
追加された
あなたの答えには何かが明確ではありません。 $$ S_ {t ^ - } d(Q_t - \ beta \ lambda t)= S_ {t ^ - } dQ_t - S_t \ beta \ lambda dt $$は私にとって間違っているようです。 ps =私は、ジャンプがない瞬間に(1)から(2)に行くことに同意します。問題はジャンプがあるときです。だから$ S_t \ neq S_ {t - } $です。
追加された 著者 Bogdan0x400,
私の推測では右方程式は$$ dS_t = \ alpha \、S_ {t - } \、dt + \ sigma \、S_ {t - } \、dW_t + S_ {t - } \、d \ left(Q_t - \ beta \、\ lambda \、t \ right)$$そうでなければ、拡散部分にジャンプがあります。
追加された 著者 Bogdan0x400,
私はそれを持っていると思います。
追加された 著者 Bogdan0x400,
私を困惑させるもう一つの疑問は、負の値を避けるために、$ Y_i \ geq -1 $、ここで$ Y_i $はジャンプの大きさであると仮定しなければならないという事実です。
追加された 著者 Bogdan0x400,
時には、あなたはMertonのSDEへの解決策に関する質問を投稿しましたが、私はあなたに ntu.edu.sg/home/nprivault/MA5182/… を参照してください。エクササイズ1)を参照してください)、それはまさに私が説明したものです。
追加された 著者 Abhirup Manna,
2つのコンポーネントを追加するという点では本当に考えるべきです:1つは不連続なパス(複合Poissonパート)を持ち、もう1つは連続しています。連続部分に関しては、連続性のため$ S_t $または$ S_ {t ^ - } $を置き換えて使用することができます。答えをもう一度読んで、誰かがさらに助けることができるように、あなたには分からないことを指摘してください。
追加された 著者 Abhirup Manna,
PS:あなたが書いた方程式はもちろん、連続部分$ S_t = S_ {t ^ - } $のために正しいですが、シュレブ表記は、ジャンプで何が起こるかを区別するために特別に作られています。
追加された 著者 Abhirup Manna,
それがあなたを助けた場合、それは他の人を助けるかもしれない答えとしてマークすることをためらうことはありません:)
追加された 著者 Abhirup Manna,
あなたが観察したように、SDEはジャンプ時間に$ S_t = S_ {t ^ - }(Y_i + 1)$を示しているので、資産価格を残したいなら$ Y_i <-1 $ポジティブ。これは、単にSDEを定義する方法の結果です。
追加された 著者 Abhirup Manna,