# ブラック・ショールズと配当の価格設定

Consider the payoff $g(S_T)$ shown in the figure below. Consider Black-Scholes model for the price of a risky asset with $T = 1$, $r = .04$, and $\sigma = .02$ and dividends are paid quarterly with dividend yield $10\%$. Take $S_0 = 10$, $K_1 = 9$, and $K_2 = 11$. Find the Black-Scholes price, $\Delta$, $\Gamma$, $\rho$, and $\mathcal{V}$ of this option at time $t = 0$. Find $\Theta$ at time $t = 0$ without taking derivatives with respect to $S$. Solution: The payoff is, $$g(S_t) = (S_t - K_1)_{+} - 2(S_t - \frac{(K_1 + K_2)}{2})_{+} + (S_t - K_2)_{+}$$ The Black-Scholes formula with dividend gives \begin{align*} V(t = 0,S) &= e^{-r\tau}\hat{\mathbb{E}}[g(\tilde{d}S_T)]\\ &= \tilde{d}\left(BS_{call}(\frac{K_1}{\tilde{d}}) - 2BS_{call}(\frac{K_1+K_2}{2\tilde{d}}) + BS_{call}(\frac{K_2}{\tilde{d}})\right) \end{align*} where $$\tilde{d} = \left(1 - \frac{d}{4} \right)^{4} = .9037$$ So, $$V(t = 0,S) = e^{-r\tau}\hat{\mathbb{E}}[g(\tilde{d}S_T)] = (.9037)((0) - 2(0) + (0)) \approx 0$$ For the Greeks we have $$\Delta = \partial_S V(t = 0,S) = \tilde{d}\left[\Phi(d_1(\frac{K_1}{\tilde{d}})) + \Phi(d_1(\frac{K_1+K_2}{2\tilde{d}})) + N(d_1(\frac{K_2}{\tilde{d}})) \right] \approx 0$$ $$\Gamma = \partial_{SS}V(t = 0, S) = 0$$ $$\rho = \partial_r V(t = 0,S) = \left( e^{-rt}(\frac{K_1}{\tilde{d}})(t)\Phi(d_2) + e^{-rt}(\frac{K_1+K_2}{2\tilde{d}})(t)\Phi(d_2) + e^{-rt}(\frac{K_2}{\tilde{d}})(t)\Phi(d_2)\right) \approx 0$$ $$\mathcal{V} = (S\sqrt{t}\Phi(d_1) + S\sqrt{t}\Phi(d_1) + S\sqrt{t}\Phi(d_1)) \approx 0$$

1
ヒント：もう一度質問を読む。それは、t = 0ではなく、t = 1で価格とグリークを求めている。

@ onlyvix.blogspot.com私のソリューションはどのようになっていますか？

## 1 答え

あなたの答えには、配当は含まれていません。 それが間違っていると言って申し訳ありません。

ペイオフ機能は $$（S_T-K_1）+（S_T-K_1）+（S_K_1 + K_2）$$

どこで $$\ tilde {d} =（1- \ frac {d} {4}）^ 4 = 0.9037$$ あなたの質問のすべての数字にプラグイン、私は0.3905を得る（自分自身をダブルチェック）。

greeksに関しては、

$$2N（d_1（（t）、（d_1））は、次のように定義されます。\ Delta = \ frac {\ partial S} K_1 + K_2）/（2 \ tilde {d}））+ N（d_1（K_2/\ tilde {d}））\ right]$$ ここで$N$は通常のc.d.fです。 $d_1（K）= \ frac {log（S/K）+（r + \ frac {1} {2} \ sigma）\τ} {sigma \ sqrt {\ tau}}$。

すべてのgreeksは元のBSのgreeksのちょうど線形の組み合わせなので、問題の残りの部分はかなり簡単です。あなたは、元のBSのgreeksでストライキ価格を変更する必要があります（私は思いますか？）。私はここですべての計算を進めません。

2

>> S = 10; r = 0.04; sigma = 0.02; d =（1-0.1/4）^ 4; >> K = 9; >> d1 =（log（Sd/K）+（r + 0.5 *σ2））/σ >> normcdf（d1）ans = 0.9866 >> K =（9 + 11）/ 2; >> d1 =（log（Sd/K）+（r + 0.5 *σ2））/σ >> normcdf（d1）ans = 0.0011 >> K = 11/2; >> d1 =（log（S * d/K）+（r + 0.5 *σ2））/ >> normcdf（d1）ans = 1 >> 0.9866 - 2 * 0.0011 + 1 ans = 1.9844 >> d * 1.9844 ans = 1.7933 >>

$\ Theta$以外のすべてのグリークを計算すると、BS PDEを介して$\ Theta$が見つかります。この注記を参照してください（ econ-pol.unisi.it/fm10/greeksBS。 pdf を参照してください）。 $BS_ {call}$はこのノートのCとまったく同じです。ストライキ価格$K$を$K/\ tilde {d}$に変更する必要があります。

あなたはおそらく私の答えを慎重に読んでいないでしょう。私はすでに議論に参考文献を掲載しています。 MATLABコードを使用してデルタを計算する方法は次のとおりです

あなたは$\ Delta$のために何を持っていますか？ところで、そこにあなたの答えを確認するために使用できるmatlabに組み込まれた関数blspriceがあります。

また、$\ Delta$の数式は私のものとは異なります。あなたはあなたの答えに他のgreeksの公式を提供できますか？

ハハ、ちょうど私が私の教授と私の解決策を確認したことを知っている。また、私は金融数学の博士課程の学生です。私は数学を理解すると言ってもいいと思います。

ソリューションにもっと多くを追加できませんか？私はあなたが$\ delta$のために得るものを見たいですか？あなたがネイティブの英語のスピーカーですか、あなたが私を理解しているかどうかわからない

はい、$\ delta$の式を使って、$0$という答えが出てきます。また、あなたが持っているテキストから来ると思われるグリークの数式を提供できますか？それは大きな助けになるだろう

また、$\ Delta$の式を使って$0$

どうもありがとう

$BS_ {call}のように（K_1/\ tilde {d}）$あなたが使っている数式を私に見せることができれば、私のメモにあなたの方法を適用する方法がわからないので、

また、配当のための$BS_ {call}$公式を投稿することもできます。

ちょうど私はgreeks gamma、rho、vegaを計算する必要があることを理解していますか？