ブラック・ショールズと配当の価格設定

Consider the payoff $g(S_T)$ shown in the figure below. Consider Black-Scholes model for the price of a risky asset with $T = 1$, $r = .04$, and $\sigma = .02$ and dividends are paid quarterly with dividend yield $10\%$. Take $S_0 = 10$, $K_1 = 9$, and $K_2 = 11$. Find the Black-Scholes price, $\Delta$, $\Gamma$, $\rho$, and $\mathcal{V}$ of this option at time $t = 0$. Find $\Theta$ at time $t = 0$ without taking derivatives with respect to $S$.enter image description here

Solution: The payoff is, $$g(S_t) = (S_t - K_1)_{+} - 2(S_t - \frac{(K_1 + K_2)}{2})_{+} + (S_t - K_2)_{+}$$ The Black-Scholes formula with dividend gives \begin{align*} V(t = 0,S) &= e^{-r\tau}\hat{\mathbb{E}}[g(\tilde{d}S_T)]\\ &= \tilde{d}\left(BS_{call}(\frac{K_1}{\tilde{d}}) - 2BS_{call}(\frac{K_1+K_2}{2\tilde{d}}) + BS_{call}(\frac{K_2}{\tilde{d}})\right) \end{align*} where $$\tilde{d} = \left(1 - \frac{d}{4} \right)^{4} = .9037$$ So, $$V(t = 0,S) = e^{-r\tau}\hat{\mathbb{E}}[g(\tilde{d}S_T)] = (.9037)((0) - 2(0) + (0)) \approx 0 $$ For the Greeks we have $$\Delta = \partial_S V(t = 0,S) = \tilde{d}\left[\Phi(d_1(\frac{K_1}{\tilde{d}})) + \Phi(d_1(\frac{K_1+K_2}{2\tilde{d}})) + N(d_1(\frac{K_2}{\tilde{d}})) \right] \approx 0$$ $$\Gamma = \partial_{SS}V(t = 0, S) = 0$$ $$\rho = \partial_r V(t = 0,S) = \left( e^{-rt}(\frac{K_1}{\tilde{d}})(t)\Phi(d_2) + e^{-rt}(\frac{K_1+K_2}{2\tilde{d}})(t)\Phi(d_2) + e^{-rt}(\frac{K_2}{\tilde{d}})(t)\Phi(d_2)\right) \approx 0$$ $$\mathcal{V} = (S\sqrt{t}\Phi(d_1) + S\sqrt{t}\Phi(d_1) + S\sqrt{t}\Phi(d_1)) \approx 0$$

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ヒント:もう一度質問を読む。それは、t = 0ではなく、t = 1で価格とグリークを求めている。
追加された 著者 jennyfofenny,
@ onlyvix.blogspot.com私のソリューションはどのようになっていますか?
追加された 著者 Gabriel Acosta,

1 答え

あなたの答えには、配当は含まれていません。 それが間違っていると言って申し訳ありません。

ペイオフ機能は $$ (S_T-K_1)+(S_T-K_1)+(S_K_1 + K_2) $$

配当を伴うBS価格設定式 $$ \ BS \ {call} \ left(\ frac {K_1} {\} \ {\}} \ left { \ BS {call} \ left(\ frac {K_2} {\ tilde {d}} \ right) - 2BS_ {call} \ left(\ frac {K_1 + K_2} {2 \ {d}} \ right)\ right) $$

どこで $$ \ tilde {d} =(1- \ frac {d} {4})^ 4 = 0.9037 $$ あなたの質問のすべての数字にプラグイン、私は0.3905を得る(自分自身をダブルチェック)。

greeksに関しては、

$$ 2N(d_1((t)、(d_1))は、次のように定義されます。\ Delta = \ frac {\ partial S} K_1 + K_2)/(2 \ tilde {d}))+ N(d_1(K_2/\ tilde {d}))\ right] $$ ここで$ N $は通常のc.d.fです。 $ d_1(K)= \ frac {log(S/K)+(r + \ frac {1} {2} \ sigma)\τ} {sigma \ sqrt {\ tau}} $。

すべてのgreeksは元のBSのgreeksのちょうど線形の組み合わせなので、問題の残りの部分はかなり簡単です。あなたは、元のBSのgreeksでストライキ価格を変更する必要があります(私は思いますか?)。私はここですべての計算を進めません。

何かが明確でない場合は、私に知らせてください。

2
追加された
私のデルタはゼロではありません。以前のコメントで私のMatlabコードを見てください。プラス私はネイティブの英語のスピーカーではありませんが、私はあなたを理解しています。これは言語の問題ではありません。私はあなたが数学を理解するのを疑う。
追加された 著者 Marion,
>> S = 10; r = 0.04; sigma = 0.02; d =(1-0.1/4)^ 4; >> K = 9; >> d1 =(log(Sd/K)+(r + 0.5 *σ2))/σ >> normcdf(d1)ans = 0.9866 >> K =(9 + 11)/ 2; >> d1 =(log(Sd/K)+(r + 0.5 *σ2))/σ >> normcdf(d1)ans = 0.0011 >> K = 11/2; >> d1 =(log(S * d/K)+(r + 0.5 *σ2))/ >> normcdf(d1)ans = 1 >> 0.9866 - 2 * 0.0011 + 1 ans = 1.9844 >> d * 1.9844 ans = 1.7933 >>
追加された 著者 Marion,
$ \ Theta $以外のすべてのグリークを計算すると、BS PDEを介して$ \ Theta $が見つかります。この注記を参照してください( econ-pol.unisi.it/fm10/greeksBS。 pdf を参照してください)。 $ BS_ {call} $はこのノートのCとまったく同じです。ストライキ価格$ K $を$ K/\ tilde {d} $に変更する必要があります。
追加された 著者 Marion,
表記$ BS_ {call}(K_1/\ tilde {d})$を悪用して申し訳ありません。私が言いたいのは、BSコールオプションの価格設定式で、ストライク価格を$ K/\ tilde {d} $に変更することだけです。
追加された 著者 Marion,
あなたはおそらく私の答えを慎重に読んでいないでしょう。私はすでに議論に参考文献を掲載しています。 MATLABコードを使用してデルタを計算する方法は次のとおりです
追加された 著者 Marion,
あなたは$ \ Delta $のために何を持っていますか?ところで、そこにあなたの答えを確認するために使用できるmatlabに組み込まれた関数blspriceがあります。
追加された 著者 Marion,
また、$ \ Delta $の数式は私のものとは異なります。あなたはあなたの答えに他のgreeksの公式を提供できますか?
追加された 著者 Gabriel Acosta,
ハハ、ちょうど私が私の教授と私の解決策を確認したことを知っている。また、私は金融数学の博士課程の学生です。私は数学を理解すると言ってもいいと思います。
追加された 著者 Gabriel Acosta,
ソリューションにもっと多くを追加できませんか?私はあなたが$ \ delta $のために得るものを見たいですか?あなたがネイティブの英語のスピーカーですか、あなたが私を理解しているかどうかわからない
追加された 著者 Gabriel Acosta,
はい、$ \ delta $の式を使って、$ 0 $という答えが出てきます。また、あなたが持っているテキストから来ると思われるグリークの数式を提供できますか?それは大きな助けになるだろう
追加された 著者 Gabriel Acosta,
また、$ \ Delta $の式を使って$ 0 $
追加された 著者 Gabriel Acosta,
私は価格のために.3886を得た
追加された 著者 Gabriel Acosta,
どうもありがとう
追加された 著者 Gabriel Acosta,
$ BS_ {call}のように(K_1/\ tilde {d})$あなたが使っている数式を私に見せることができれば、私のメモにあなたの方法を適用する方法がわからないので、
追加された 著者 Gabriel Acosta,
また、配当のための$ BS_ {call} $公式を投稿することもできます。
追加された 著者 Gabriel Acosta,
ちょうど私はgreeks gamma、rho、vegaを計算する必要があることを理解していますか?
追加された 著者 Gabriel Acosta,