ランダムなパスを数える

ある株式の経路を二項ツリーを使ってモデル化できると仮定する。時刻t t = 0 $における株式の初期価格は1024である。株価の崩壊率は$ x = 1.25 $であり、株価下落率は$ y = 0.8 $である。リスクは単に$ r = 3 \%$と混同されていると仮定してください。 50ステップ後の株価が\ 2500ドルで、\ 3125の障壁に決して触れない場合、$ 1を支払うバイナリオプションの価格を決定する。

ランダムパスアプローチを使用して、パスの数が$ {50 \ choose24} - {50 \ choose28} $である理由を説明してください

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あなたはどれくらいあなた自身の上にいましたか?
追加された 著者 saint_groceon,
私はあなたが3%が無リスク金利であることを意味していると思います。また、これまで行ってきたことを教えてください。
追加された 著者 saint_groceon,
各パスは50文字の「単語」として表すことができ、唯一可能な文字はUとD(上または下)です:UUDUU ..... DU
追加された 著者 Corey Goldberg,
かなり遠い。これは私が確信している唯一の部分です。
追加された 著者 Tom Resing,
1つの期間にわたるリスクは、単純に3%
追加された 著者 Tom Resing,
「リスクは単に$ r = 3 \%$と複合されている」という意味を説明できますか?
追加された 著者 john,
しかし、リスクはすでに$ x $と$ y $に含まれています。私は余分な自由が$ r $によって制約されていることを理解していません。通常、二項ツリーモデルでは、$ r、$ d、(あなたのケースでは$ x、y $)とリスクフリーの利子率が通常$ r $と表示されます。リスクフリーのセキュリティは言及していないので、私は金利を$ 0 $と仮定します。 $ r $とは何ですか?
追加された 著者 john,

2 答え

私が上で述べたように、私は変数$ r $が何であるか分かりません。それを無視するか、または質問者がリスクフリー金利を言いたければ、それはパスの数に影響を与えません。

それから、\ $ 1024から\ $ 2500に50ステップ進んだ後に、与えられた$ x = y ^ { - 1} = 1.25 $で4つの上の動きのネットが必要であることは明らかです。したがって、バリア制約なしのステップ数は$ \ phantom {a} ^ {50} C_ {23} $です。

We need to subtract from this the number of paths that cross \$3125 and yet end up on \$2500. For each such path, there is one that passes through \$3125 at the same place but then is reflected across the line \$3125 to end up on \$3906.25. In other words the reflected path has a net 6 up movements. An example of this method is shown below. The numbers used are for a different problem. A reflected path is shown below although the values are for a different problem.

そのようなパスの数は$ \ phantom {a} ^ {50} C_ {28} $です。しかし、これらが障壁を横切る際に除外する必要があることを思い出してください。

したがって、\ 3125を越えたことがない$ 2500で終了するパスの数は、

$$ \ {50} C_ {23} - \ファントム{a} ^ {50} C_ { $$

これは、最初の用語の違いのために質問で尋ねられたものと同じではありませんが、それは誤植であると思われます。

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2つのヒント:

$ 1024 $から出発して$ 5/4 $の倍率で立ち上がり、倍率$ 4/5 $で下がると、決して$ 3125 $まで上がることのないパスの数

$ 0 $から始まる経路の数と同じであり、加算因子$ + 1 $で足踏みし、$ -1 $の加算因子で下降し、$ 5 $にならない

$ 0 $から始めて$ + 1 $を上げて$ -1 $を下げるような長さ$ n $のパスの数を$ E(n、m)$とする。

$ E(n、m)= E(n-1、m-1)+ E(n-1、m + 1)$

it は then easy to think about Pascal triangle and to look for a solution like $E(n,m)=C(n,a \times n + b \times m)$

you can verify that $E(n,m) = C(n,\frac{n+m}{2})$ will satはfy the relation ship

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