完璧な立方体は可能ですか?

こちらに基づいています。

a + b、b + c、c + d、a + b + c、b + c + d、a + b + c + dがすべて完璧であるように4つの異なる整数a、b、c、キューブ?

そうでない場合は、それを証明してください。

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はい。だから、パゴンの答えは有効です。
追加された 著者 Steve Moyer,
整数の1つがゼロになることがありますか?
追加された 著者 Alex P,
それは良いです、あなたはそれから質問をしました:)
追加された 著者 Erin Beierwaltes,

4 答え

この回答は、所望の方程式のすべての解を記述する。特に、$(a、b、c、d)$を$(0、-8,9、-1)$と$(1,7、-7、$)として与えた3つの根本的に異なるクラスの解を提案する。 -1)$と$( - 728,728,1,999)$である。

を$ a + b = x ^ 3 $と$ c + d = y ^ 3 $と$ a + b + c + d = z ^ 3 $とする。その後、 $$ x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ 3。$$ これはFermatのLast Theorem(またはFermatが実際に証明した特殊なケース)によって0以外の$ x、y、z $に対しては不可能です。だから、被加数の1つがゼロである必要があります。

Case 1: $a+b+c+d=0$

この場合、$ a $と$ d $と$ a + d $は、そのネガティブが$ b + c + d $と$ a + b + c $と$ b + c $であるため、それぞれ完全な立方体です。だから、$ a $、$ d $、$ a + d $のいずれかが0である必要があります。

Case 1a: $a=0$

今、$ a + b $は完全な立方体であることが分かります。しかし、$ b $、$ c + d $、$ b + c + d $のいずれかがゼロでなければなりません。ただし、$ b + c + d $はゼロである必要があります。なぜなら、$ a $から$ b = -c-d $はゼロになることができないからです。この時点で、システムを解決することができます $$ a = 0 $$ $$ b + c = \ alpha ^ 3 $$ $$ c + d = \ beta ^ 3 $$ $$ b + c + d = 0 $$ すべての$ \ alpha、\ beta $の解を持つ。たとえば、$(0、-8,9、-1)$はこの形式です。

Case 1b: $d=0$

この場合、$(a、b、c、d)$を$(d、c、b、a)$にスワップする以外は、対称で前のケースと同じ結果が得られます。

Case 1c: $a+d=0$

これは$ b + c = 0 $も意味するので、$ a = -d $と$ b = -c $が続くことに注意してください。さらに、$ a + b + c = a $は立方体であるため、$ a $は非ゼロの立方体でなければなりません。次に、次のソリューションファミリを取得します。 $$ a = \ alpha ^ 3 $$ $$ a + b = \ beta ^ 3 $$ $$ c = -b $$ $$ d = -a $$ これはシステムに入力されたすべての$ \ alpha、\ beta $に対して解くことができます。たとえば、タプル$(1,7、-7、-1)$はこの形式です

Case 2: $a+b=0$

$ a + b + c $は完璧な立方体なので、$ c $は完璧な立方体です。 $ c $と$ b + c $と$ c + d $と$ b + c + d $をすべてキューブにすることで十分です。特に、$$ \ alpha ^ 3 + \ beta ^ 3 = \ kappa ^ 3 + \ gamma ^ 3 $$の解を持つならば 次のように解を生成することができます。 $$ c = \ alpha ^ 3 $$ $$ b + c + d = \ beta ^ 3 $$ $$ b + c = \ kappa ^ 3 $$ $$ c + d = \ gamma ^ 3 $$ $$ b = -a $$ それは過度に見えますが、最初の4つの方程式は線形依存であることが分かります。このクラスのソリューションの分類を終了するには、より多くの作業が必要です。 Ramanujanが解決策$(〜728,728,1,999)$を得るために$ 1729 = 1 ^ 3 + 12 ^ 3 = 9 ^ 3 + 10 ^ 3 $を好むアイデンティティを使用することができます。別の$ a、b、c、d $を与えるためには、$ \ alpha、\ beta、\ kappa、\ gamma $が区別されなければならないことに注意してください。そのようなソリューションの一般的なセットをどのように特徴づけるのかはわかりませんが、タクシーブック番号を接続できることは注目に値しますこのフォームの多くのソリューションを取得します。

Case 3: $c+d=0$

これは、対称性によって、ケース2と同じです。

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追加された
+1。これにより誰かが簡単に何千ものソリューションを生成するプログラムを作ることができます。
追加された 著者 Steve Moyer,
それは非常に良い答えです、説明は明確であり、特にHardy-Ramanujan番号の言及です:)
追加された 著者 Erin Beierwaltes,
@ Yakk No - 負でない整数に対してのみ、$ a + b $、$ c + d $、$ a + b + c + d $のいずれかを0にする唯一の方法は、$ a = b = 0 $または$ c = d = 0 $(またはその両方)。これらの可能性の両方は、数字が異なるという条件に違反します。
追加された 著者 Milo Brandt,
負でない整数だけの解はありますか?
追加された 著者 atarax42,

整数に制限はありません。

$ a = 0 $
$ b = 1 $
$ c = 7 $
$ d = -8 $

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追加された
-1は何の完璧な立方体ですか? i ?それはストレッチではありませんか?
追加された 著者 mashrab,
@Scimonster、wow、読んで "キューブ"を書いている。来る日曜日の脳の男のためにコメントを残す。
追加された 著者 mashrab,
@ user1717828の-1
追加された 著者 Tevo D,

部分的な答え:フェルマーの最後の推測では、x ^ 3 + y ^ 3 = z ^ 3となるような正の整数x、y、zはありません

a + b = x、c + d = yとすると、a + b + c + dは完璧な立方体にはなり得ません。

1
追加された
$ z = 0 $ ...
追加された 著者 Milo Brandt,
うん、うん!正の整数に制限するとそれが解決されますが、肯定的な制限は問題になりません。
追加された 著者 thnkwthprtls,

a、b、c、dが-30〜30の整数であった場合、すべての答えを素早くPythonスクリプトで吐き出します。私は他の回答のバージョンを並べ替えただけの回答は除外しませんでした:

! (-28,1,26、-26)
  (-28,27,26,26)
  (-28,28,27,0)
  (-28,28,27,26)
  (-28,28、-1、-26)
  (-28,28、-1,0)
  (-27,19、-19,27)
  (-27,19,8,0)
  (-27,26,26,27)
  (-27,26,1,0)
  (-27,28,28,27)
  (-27,28、-1,0)
  (-26、-1、28、-28)
  (-26,26,27,0)
  (-26,26,27,28)
  (-26,26,1-28)
  (-26,26,1,0)
  (-26,27,28,28)
  (-19,19、-27,0)
  (-19,19,8,0)
  (-16,16、-8、0)
  (-9、1、7、-7)
  (-9、8、-7、7)
  (-9,9、-8、0)
  (-9,9、-8,7)
  (-9,9、-1、-7)
  (-9,9、-1,0)
  (-8、-19、19、8)
  (-8、-19,27,0)
  (-8,7,7,8)
  (-8,7,1,0)
  (-8,9、-9,8)
  (-8,9、-1,0)
  (-8,16、-16,8)
  (-7、-1、9、-9)
  (-7,7、-8、0)
  (-7,7,8,9)
  (-7,7,1、-9)
  (-7,7,1,0)
  (-7,8,9,9)
  (-1、-26、27、0)
(-1、-26、-2、-1) 、(1、9、-9、1)
(-1、-2、-2、-1) (-1,28、-27、0)
(0、-27、19、-19)
(0、-27、19、8)
(0、-27、26、-26)
(0、-27、26、 28、-28)
(0、-27、28、-1)
(0、-8、-19、19)
(0、-8、-19、27)
(0、-8、9、-9)
(0、-8、9、-9) (0、-1、-26、27)
(0、-1、-26、-26) (0、-1、-1、-7、-8)
(0、-1、-2、-2)
(0、-1、9、-8)
(0、-1、28、-28)
(0、-1、28、-27) (0、1、-9、9)
(0、1、-9、8) 1、-2、2)
(0,1,7、-8)
(0、1、7、-7)
(0、1、26、-27)
( 0、1、26、-26)
(0,8、-16,16)
(0、8、-9、 >(0、8、19、-27)
(0、8、19、-17)
(0、8、19、-19)
(0、27、-28、1)
(0、27、-28、28)
(0、27、-26、-1) 26,26)、(0,27、-19、-8)
(0、 27、-19,19)
(1、-28、27、0)
(1、-28、28、-1)
(1、-9、8、0)
(1、-9、-1、-1)
(1、-2、2、-1) 1、2、-2、1、0)、(1,2、-26、-1) 、9、-9)
(7、-7、-1、0)
(7、-7、-1,9) >(7、-7、8、0)
(7、1、-9,9)
(8、-16,16、 )
(8、-9、9、-8)
(8、-7、-1、0)
(8、-7、7、 (9、-9,1,0)、(9,-9,1,0)、(8,19、-19、-8) 9、-9、8、-7)
(9、-9、8、0) )
(16、-16、8、0)
(19、-19、-8、0)
(19、-19、27、0)

Here's the script: http://pastebin.com/7nQjrxKM

1
追加された
ブルートを強く強要することはちょっと違う気がするかもしれませんが、多分この答えを与えることは他の誰かがパターンを特定するのに役立ちます。
追加された 著者 Chris B,