$ 7.5 ^ 7 $の精神的精神計算

私は最近次の質問をしました。

$ 7 ^ 7 $と$ 8 ^ 7 $の場合、おおよそ$ 7.5 ^ 7 $です。

私の考えは$(x + .5)^ 7、(x - .5)^ 7 $ $ 7.5 = $を知っていたということでした。それから、彼らの平均をとると、およそ$ 7.5 ^ 5 $ほど見積もられます。他のアイデア?

編集:我々は主観的な言葉である私たちの答えの$ 90 \%$を確認することになっているので、私たちの答えは かなり正確。

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より近い見積もりは、代わりに幾何平均を取ることです:$ \ sqrt {7 ^ 78 ^ 7} = \ sqrt {56} ^ 7 \ approx \ sqrt {56.25} ^ 7 = 7.5 ^ 7 $。
追加された 著者 Tritium21,
「信頼区間」は統計用語であり、この質問の文脈ではあまり意味がありません。
追加された 著者 Tritium21,
これはMathematics SEに移行してはいけませんか?
追加された 著者 Nicholas Tolley Cottrell,
私は頭の中でそれらの数字を平均することができることに感心しています。解決策が精神的に実行するのが難しいと思われる前に、どのように算術演算を実行できるのですか?
追加された 著者 Robert de Graaf,
@ GarethMcCaughan:私は更新しました。
追加された 著者 user21555,
@Aurey:私は紙を求めることができると思うが、明らかに計算は速くなければならない。
追加された 著者 user21555,
あなたは質問者が望んでいた正確さのレベルを知っていますか?
追加された 著者 Pankaj,

3 答え

ここで私が過度に複雑ではないと感じる解決策は、(紙で行うことができる)かなり正確です。二項展開の主要項を使用してください。

(1 + 0.5/7 * 7 +(0.5/7)^ 2 * 21)$(7.5)^ 7 = 7 ^ 7(1 + 0.5/7)^ 7 \約7 ^ 7

$ 21 $は$ 7 $ですので、$ 2 $を選択します。

これは$ 7 ^ 7(1.5 + 0.25/7 * 3)\約7 ^ 7(1.5 + 0.1)$

$ 1317668.8 $となり、真の価値に非常に近い$ \ approx1334838.86 $

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追加された
私はあなたが8から同じ推論を適用して、両方の値に平均を実行すれば、さらに近づけることができるはずだと思います。
追加された 著者 Scott Weldon,

技術的には、あなたの質問は広すぎると思います。これは次のようになります。「多くの努力を払わずに算術平均を行うよりも、どのように優れた近似を得ることができますか?そして、私は90%が何を意味するのかを理解していません。もしあなたが10%以内でなければならないということを意味するならば、その解決法は簡単であり、本当にパズルとしての資格はありません。

それにもかかわらず、私は精神的算術が本当に有用であることを常に知っていたので、ここで私がやることがあります。

あなたは7.5が7.5よりも大きいことを知っています。あなたは$ 7 * 7 = 49 $を知っています。したがって、7.5は7より少し大きい値です。

$7.5^7 > 7^7 * 1.07^7$

$ 1.07 ^ 7 $はどれくらいですか?まあ、それは$ 1 +(0.07 * 7)$以上のビットなので、1.5に非常に近いです。これは与える:

$7.5^7 > 7^7 * 1.5$.

さらに、あなたは知っている

$7.5^7 < (7^7 + 8^7)/2$.

今:

$ 7 ^ 7 = 823,543 $
  $ 8 ^ 7 = 2,097,152 $

あなたが心理計算で本当に悪い場合は、取得するために800,000と$ 823,543 + 2,097,152 $(最大)まで823,543(最低)を得ることができます:

$7^7 * 1.5 < 7.5^7 < (7^7 + 8^7)/2$
$800,000 * 1.5 < 7.5^7 < 3,000,000/2$
$1,200,000 < 7.5^7 < 1,500,000$

最小値よりも大きく、公平な値よりも小さい公平な金額であることが分かっているので、中点を取ってください:1,350,000。これは、正解の2%以内であることがわかります。あなたが書いて説明するのにはしばらく時間がかかりますが、数秒で頭の中でこれを行うことができ、あなたが正しい数字の数パーセント以内にいることを確かめてください。 10%を引いた値が10%以内であることを確かめてください。最小値を上回り、最大値をわずかに下回ります。

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追加された
私がこれを持っている唯一の問題は、精神的に$ 1.07 ^ 7 $を計算し、$ 1.5 $を得ることです。どのようにこれを行うことができますか?
追加された 著者 jeffreypriebe,
@question_askerありがとう。一定。
追加された 著者 Craigger,
@Treninもし数字が7倍大きくなるなら、それは07倍に7倍を加えるより少し多いです。 7つのセブンは49なので、1.49を少し超えています。 1.5を使用すると、計算結果が簡単になります。
追加された 著者 Craigger,
あなたは$ 8 ^ {7} $でなければならないと思う$ 8 ^ {8} $を持っています
追加された 著者 question_asker,

$ 7 ^ 7 = a $と$ 8 ^ 7 = b $とすると

私は次のように近似できると思う:

$$ {7.5} ^ 7 \ times 1 \ approx \ int_7 ^ 8x ^ 7dx = \ frac 18 \ left(8 ^ 8-7 ^ 8 \ right)= 8 ^ 7- \ frac 78 7 ^ 7 = b- \フラック78 a $$

これは$ 1376551.875 $を与え、真の価値$ 1334838.867 $に非常に近い

この方法は簡単で高速です。

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追加された