Halfbrain教授とすべての除数の数字の合計

昨日、私は市内のハーフブレイン教授に会った。教授は疲れていて、多少疲れていました。彼は、正の整数の除数の桁を足して夜と日を過ごしたと私に言った。例えば、整数$ n = 12 $は6つの除数$ 1,2,3,4,6,12 $を持ち、これらの6つの除数の桁の合計は$ 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 1 + 2です= 19 $。教授は$ n $から$ SDD(n)$までのすべての除数の桁の合計を示し、特に$ SDD(12)= 19 $とした。 教授は何らかの整数$ n $を計算し、$ SDD(n)$を計算した後、$ SDD(SDD(n))$、$ SDD(SDD(SDD(n)))などを計算しました。

ハーフブレーン教授の定理:   任意の正の整数$ n \ ge2 $で始まり、すべての除数の桁の和SDDを繰り返し計算すると、最終的に$ 15 $の整数になります。

たとえば、$ n = 4 $から始めましょう。 次に、次の整数は$ SDD(4)= 1 + 2 + 4 = 7 $です。 次の整数は$ SDD(7)= 1 + 7 = 8 $です。 次の整数は$ SDD(8)= 1 + 2 + 4 + 8 = 15 $です。 それから$ SDD(15)= 1 + 3 + 5 + 1 + 5 = 15 $のように固まってしまいます。

教授の定理は本当に正しいのですか、あるいは教授は再び彼の驚異的な数学的な失敗を作りましたか?

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明らかに、これは1 + 3 + 5 + 1 + 5の偽で、1と5を2回使用し、SDD(15)= 1 + 3 + 5 = 9ではない15
追加された 著者 Roby,
@VincentAdvocaatあなたはすべての除数の数字の合計を取らなければならないし、15もまた15の除数であるので、それは(1と5)からなる2桁の数字を加えなければならない。
追加された 著者 glglgl,
私は手動でチェックしました:n <1000の場合は真ですので、教授は正しいと思います
追加された 著者 Jawad Al Shaikh,
私は値2〜100,000に対してプログラムでテストしました。誰かが私のスクリプトをコピーしたいと思えば、 codepad.org/Qv2fv4kD (codepad.orgはnの後にタイムアウトします= 241ですが、これをローカルマシンで実行すると、100,000まで動作します: speedy.sh/RE8jH /SDDresults.txt
追加された 著者 James,
$ 1 $は正の整数ではありませんか?
追加された 著者 KoA,

1 答え

ハーフブレイン教授の定理は

証明

If we let the number of divisors of a positive integer $n$ be denoted $d(n)$, then an easy upper bound to get on this value is $$d(n) < 2\sqrt{n}.$$ The reasoning here is that each divisor less than the square root "pairs off" with one greater so there is a 1-1 mapping between the divisors less than the square root and greater than the square root. If the number $n$ is a square then its root pairs with itself.

The number of digits in each of these divisors is $ \le \lfloor \log_{10}(n) \rfloor +1$ and each digit is $\le 9$ so a "very loose" upper bound on $SDD(n)$ is $$ SDD(n) < 9 (2 \sqrt{n}) (\lfloor \log_{10}(n) \rfloor + 1 )$$

For $n = 10000$, we have $\sqrt{n} > 18(\lfloor \log_{10}(n) \rfloor + 1)$ and since the slope of the function on the left is always greater than that on the right for $n > 10000$, we find that

For $n \ge 10000$, $$ SDD(n) < n $$

Hence, iteratively applying $SDD$ to numbers greater than $10000$ will eventually yield a number less than $10000$.

We know that the largest highly composite number less than $10000$ is $7560$ which has $64$ divisors. This means that all integers $n <10000$ have less than or equal to $64$ divisors so that (using the inequalities above) $$ SDD(n) < 64(9)(\lfloor \log_{10}(n) \rfloor + 1)$$ and using this inequality, it's easy to verify that $SDD(n) < n$ for $n>2500$.

We can apply this reasoning a couple of more times to reduce the bound again but it's not too hard to check (I wrote a quick python script) that the inequality $SDD(n) < n$ holds for $48 < n < 2500$. Hence, for any $n > 48$, repeatedly iterating $SDD$ to the number eventually yields a number $\le 48$. Thus, it suffices to check the cases where $n \le 48$.

In fact, you can narrow this down a little more and only check those $n \le 48$ for which $SDD(n) \ge n$ holds (using a similar reasoning as before). For $n \ge 2$, the integers that satisfy that inequality are $n = 2,3,4,5,6,7,8,9,12,14,15,16,18,24,28,36,48$

The example in the question has checked it for case $4,7,8$ and $15$. Further, we have $SDD(3) = 4$ and $SDD(2)=3$ which confirms it for these cases.
Then, $SDD(5)=6$, $SDD(6)=12$, $SDD(12) = 19$, $SDD(19) = 11$, $SDD(11) = 3$ and applying to $3$ iteratively gets to $15$. This confirms it for $5,6$ and $12$
Also, $SDD(9) = 13$ and $SDD(13) = 5$, which confirms it for $9$ and $SDD(14) = 15$ which confirms it for $14$.
For $n=16$, $SDD(16) = 22$ and $SDD(22) = 9$
For $n=18$, $SDD(18) = 30$, $SDD(30) = 27$ and $SDD(27) = 22$.
For $n=24$, $SDD(24) = 33$ and $SDD(33) = 12$.
For $n=28$, $SDD(28) = 29$ and $SDD(29) = 12$.
For $n=36$, $SDD(36) = 46$ and $SDD(46) = 18$.
Finally, for $n=48$, $SDD(48) = 52$, $SDD(52)= 26$ and $SDD(26) = 15$.

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追加された
ええ、そうです。それは私が元々したことですが、プログラミングに直接頼らずに、あなたが限界をさらに減らす方法を考えることが面白いかもしれないと思いました。
追加された 著者 hexomino,
はい、ありがとうございます。私はちょうどそれを修正しました。
追加された 著者 hexomino,
すべての$ n <2500 $に対して$ SDD(n) 2500 $のためであるべきであるという主張。
追加された 著者 WinW,
その最初の$ SDD(n)$があれば、単純な無理な力は一番簡単な解決策ではないでしょうか?
追加された 著者 atarax42,
これは数学の問題のように、パズルのように感じることはありません。
追加された 著者 Dan Lyons,