多くの人から2つのダイスを作る怠け者の道

$F = f(x_1)+…+f(x_n) = x_1$

$G = g(x_1)+…+g(x_n) = x_2$

ダイは設計上区別できないので、$ x_i $はランダムな割り当てです。 OPがパズルをフレーミングする際に使用した割り当てを使用します。数式は問題を満たす。それは数え切れないほどの議論ではなく、あまりにも慎重に確率を調べるものではありません。

[この回答は、以前は何も$ n $、奇妙なもの、または偶数$のために行えないことを証明すると主張していましたが、証拠には少なくとも2つの大きな穴がありました。以下は現在、何らかの日が証拠の始まりに過ぎないと主張しています。私はまだそれについて考えている。]

$ p = x ^ {f（1）} y ^ {g（1）} + \ cdots + x ^ {f（6）} y ^ {g（6）} $と書く。 $ n $ diceをローリングした後に合計$ i、j $を得る確率は$ x ^ iy ^ j $の係数で$（p/6）^ n $で与えられます。和の和を減らすには、多項式mod $（x ^ 6-1、y ^ 6-1）$で作業する必要があります。そして、問題は、$ p ^ n/6 ^ {n-2} =（1 + \ cdots + x ^ 5）（1+ \ cdots + y ^ 5）$ mod $ （1 + \ cdots + y ^ 5）+（1 + \ cdots + x ^ 5）$となる。 1-x ^ 6）a +（1-y ^ 6）b $ここで、$ a、b $は多項式です。

...私たちが望むのは、対応するものが$ p（x、y）^ n $を保持していないということですが、順序付けされていない $ p（x、y）^ n + p（y、x）^ n $である。 $ x = y $を置くと、これはちょうど$ 2p（x、x）^ n $になります。

$ x $が1以外の和の6番目の根であるとします。そして、明らかにRHSがゼロであるので、LHSも同じです。したがって、$ x $のそのような選択に対して、$ p（x、x）^ n = 0 $; $ x $の選択のたびに$ p（x、x）= 0 $となる。特に、$ \ omega ^ 6 = 1 $のとき、$（x- \ omega）$は$ p（x、x）$の因数であり、したがってこれらすべての要素の積、つまり$（x ^ 6） -1）/（x-1）= 1 + \ cdots + x ^ 5 $となる。

さて、$ p（x、x）$は正確に何ですか？それは$ \ sum x ^ {f（i）+ g（i）} $です。だから、$ f、g $ mod 6しか気にしないことに注意してください。これは、各残差mod 6が$ f（i）+ g（i）$の間に一度だけ現れることを示しています。だから、私たちは、指数がmod6であることについての通常の注意書きで、$ p = \ sum x ^ i（y/x）^ {h（i）} $と書くことができます。（非多項式については、 $ y/x $の代わりに5y $。）

おそらく私はあまりにも怠け者です...おそらく私は質問を誤解します。

Let f(x) be the sum of rolls modulo 6 of all the dice i <= n/2: $f(x) = \sum_0^{n/2} x_i \ ,mod ~6$

Let g(x) be the sum of rolls modulo 6 of all the dice i > n/2: $g(x) = \sum_{(n/2)+1}^n x_i \ ,mod ~6$

偶数nの場合は、FとGについて同じ数のダイスを組み合わせますが、1つのロールの確率が等しい場合は、ロールダイスを2つの任意のパイルに分割し、それぞれのパイルを6のモジュロ。

残っているのは、2本のシングルロールと同等です。

$ n $、任意の数の順序付けられていない出力、および任意のタイプのダイスに対して、次のような正規分布が得られませんか？

Let $d$ = number of virtual output dice
Let $s$ = number of honest die sides
Given $n>d$

$$ x'_1 = f（x_1）+ ... + f（x_ {n-d}）\ text {} [Mod \ text {} s] $$ $$ x'_2 = f（x_2）+ ... + f（x_ {n-d + 1}）\ text {} [Mod \ text {} s] $$ $$ x'_3 = f（x_3）+ ... + f（x_ {n-d + 2}）\ text {} [Mod \ text {} s] $$ $$ \ cdot $$ $$ \ cdot $$ $$ \ cdot $$ $$ x'_d = f（x_d）+ ... + f（x_ {n}）\ text {} [Mod \ text {} s] $$

$ x_i $を昇順にソートされた一連の結果の$ i $番目の要素とする。

$ k $をロール反復とする。

$ E = \ Sigma x_i \（mod〜6）\ $を$ i $にします

奇数$ i $に対して$ O = \ Sigma x_i \（mod〜6）\ $とする

$ k $が偶数なら$ F = E $、それ以外なら$ F = O $

$ k $が奇数であれば$ G = O $、そうでなければ$ G = E $

その文が偶数$ n $に対して成り立つならば、$ n = 2 $を保持する。

$ x_1 '= f（x_1）+ f（x_2）\ mod 6 \\ x_2 '= g（x_1）+ g（x_2）\ mod 6 $

Since $+$ is commutative, the order of the two input dice is not important (e.g. $(3, 5)$ will give the same result as $(5,3)$). This means that the number of unique ordered pairs $(x_1',x_2')$ is at most $21$ (the number of unique inputs). However, the number of unique ordered pairs of two dice roll results is $36>21$, which means that not every result can be produced, and the statement is false.

$ x_i $を昇順にソートされた一連の結果の$ i $番目の要素とする。

$ k $をロール反復とする。

Iversonのブラケット表記を使用する場合：

$ F = \ Big（{\ large {\ scriptsize \ {2j：in \ mathbb N \}]} \ sum_ {i = 1} ^ n {\ scriptsize {i \ in \ {2j- （mod-6）+ \ Big（{\ scriptsize [k \ in \ {2j-1：j \ in \ mathbb N \}]}} \ sim_ {1} \ n {\ scriptsize {i \ \ 2j：j \ in \ mathbb N \}]}〜x_i \ Big）（mod〜6）$

\ g {\ scriptsize {i \ in \ mathbb N \}] \ sum_ {i = 1} ^ n {\ scriptsize { （mod-6）+ \ Big（{\ scriptsize [k \ in \ {2j：j \ in \ mathbb N \}]} \ sim_ {1} \ n {\ scriptsize {i \ \ 2j：j \ in \ mathbb N \}]}〜x_i \ Big）（mod〜6）$

ここで、$ n $は奇数または偶数になります。 $（mod〜6）$は無関係です。

（この記事の編集履歴をチェックして、私の古い解答を見てください。それはその点を欠いていました）。

今は何が起こっているのか分かりませんが、このような関数が記述された形で存在するとは確信していません。

つまり、$ \ sum f（x_i）\ mod 6 = 0 $のような少なくとも6つの$ \ bf {x} $ベクトルがあり、$ \ sum g （x_i）\ mod 6 $は0から5まで均等に分布しています。

基本的に任意の数のダイスについて、入力と出力の状態の数が並んでいますが、関数が個々のロールに適用されて合計されるという機能的制約が、状態を十分に区別する能力を破壊すると思います。 $ f $の和と$ g $の和の相関関係をどのように取り除くのかは明らかではありませんが、それらが常につながっていることを証明する方法は私にはすぐわかりません。おそらくグループ理論の議論はきちんとしていますか？